मान लीजिए f(x) = Ax^3 - Bx - tan x cdot text{ | vedclass

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Question

(C) $f(x)$ को एक सम फलन होने के लिए, डोमेन के सभी $x$ के लिए $f(x) = f(-x)$ होना चाहिए।दिया गया है $f(x) = Ax^3 - Bx - 	an x \cdot 	ext{sgn}(x)$।चूँ

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(C) $f(x)$ को एक सम फलन होने के लिए, डोमेन के सभी $x$ के लिए $f(x) = f(-x)$ होना चाहिए।दिया गया है $f(x) = Ax^3 - Bx - 	an x \cdot 	ext{sgn}(x)$।चूँकि $	an(-x) = -	an x$ और $	ext{sgn}(-x) = -	ext{sgn}(x)$, इसलिए $	an(-x) \cdot 	ext{sgn}(-x) = (-	an x) \cdot (-	ext{sgn}(x)) = 	an x \cdot 	ext{sgn}(x)$।अतः, $f(-x) = A(-x)^3 - B(-x) - 	an(-x) \cdot 	ext{sgn}(-x) = -Ax^3 + Bx - 	an x \cdot 	ext{sgn}(x)$।$f(x) = f(-x)$ के लिए, $Ax^3 - Bx - 	an x \cdot 	ext{sgn}(x) = -Ax^3 + Bx - 	an x \cdot 	ext{sgn}(x)$ होना चाहिए।इसे सरल करने पर $2Ax^3 - 2Bx = 0$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $A = 0$ और $B = 0$ एक साथ होने चाहिए।$A = \sin^2 \alpha - \sin \alpha + \frac{1}{4} = (\sin \alpha - \frac{1}{2})^2 = 0 \implies \sin \alpha = \frac{1}{2}$।$B = 	an^2 \alpha + \frac{2}{\sqrt{3}} 	an \alpha + \frac{1}{3} = (	an \alpha + \frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 0 \implies 	an \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$।हमें $\alpha \in [-\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ ज्ञात करना है जहाँ $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ और $	an \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ दोनों सत्य हों।$\sin \alpha = \frac{1}{2}$ के लिए, $\alpha = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, -\frac{11\pi}{6}$।$	an \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए, $\alpha = \frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}$।उभयनिष्ठ मान $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ और $\alpha = -\frac{7\pi}{6}$ हैं।अतः, कुल $2$ मान प्राप्त होते हैं।

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