मान लीजिए alpha in R इस प्रकार है कि फलन f(x) | vedclass

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Question

(C) फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = f(0) = \alpha$ हो

Vedclass · Accepted Answer

ऐसा कोई $\alpha$ मौजूद नहीं है

Vedclass · Answer

(C) फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\operatorname{Lim}_{x ightarrow 0^{+}} f(x) = \operatorname{Lim}_{x ightarrow 0^{-}} f(x) = f(0) = \alpha$ होना चाहिए।सबसे पहले,दाईं ओर की सीमा $(RHL)$ $x ightarrow 0^{+}$ के लिए:$\operatorname{Lim}_{x ightarrow 0^{+}} \frac{\cos^{-1}(1-x^2) \sin^{-1}(1-x)}{x(1-x)(1+x)} = \operatorname{Lim}_{x ightarrow 0^{+}} \frac{\cos^{-1}(1-x^2)}{x} \cdot \frac{\sin^{-1}(1-x)}{1-x^2} = \frac{\pi}{2} \cdot \operatorname{Lim}_{x ightarrow 0^{+}} \frac{\cos^{-1}(1-x^2)}{x}$.मान लीजिए $1-x^2 = \cos 	heta$,तो जैसे $x ightarrow 0^{+}$,$	heta ightarrow 0^{+}$.$\operatorname{Lim}_{	heta ightarrow 0^{+}} \frac{	heta}{\sqrt{1-\cos 	heta}} = \operatorname{Lim}_{	heta ightarrow 0^{+}} \frac{	heta}{\sqrt{2} \sin(	heta/2)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 = \sqrt{2}$.अतः,$RHL = \frac{\pi}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.अब,बाईं ओर की सीमा $(LHL)$ $x ightarrow 0^{-}$ के लिए:$x \in (-1, 0)$ के लिए,$\{x\} = x+1$.$\operatorname{Lim}_{x ightarrow 0^{-}} \frac{\cos^{-1}(1-(x+1)^2) \sin^{-1}(1-(x+1))}{(x+1)-(x+1)^3} = \operatorname{Lim}_{x ightarrow 0^{-}} \frac{\cos^{-1}(1-(x+1)^2) \sin^{-1}(-x)}{(x+1)(1-(x+1)^2)} = \operatorname{Lim}_{x ightarrow 0^{-}} \frac{\cos^{-1}(1-(x+1)^2) \cdot (-x)}{(x+1)(-x)(2+x)} = \frac{\cos^{-1}(0)}{1 \cdot 2} = \frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$.चूँकि $RHL = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$ और $LHL = \frac{\pi}{4}$,सीमाएँ समान नहीं हैं।इसलिए,$\alpha$ के किसी भी मान के लिए फलन $x=0$ पर सतत नहीं है।

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