ધારો કે $I_{n} = \int_{1}^{e} x^{19}(\log |x|)^{n} dx$,જ્યાં $n \in N$. જો $(20) I_{10} = \alpha I_{9} + \beta I_{8}$,પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\beta$ માટે હોય,તો $\alpha - \beta$ ની કિંમત ..... થાય.

જો $\alpha=\int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{\tan ^{-1} x}{2 x^2-3 x+2} d x$ હોય,તો $\sqrt{7} \tan \left(\frac{2 \alpha \sqrt{7}}{\pi}\right)$ ની કિંમત $....$ છે. (અહીં,પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેય $\tan ^{-1} x$ એ $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ માં કિંમતો ધારણ કરે છે.)

ધારો કે $\int_{-2}^{2} (\sin |x| + [x \sin x]) dx = 2(3 - \cos 2) + \beta$, જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. તો $\beta \sin \left(\frac{\beta}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો:

$\int_{\pi / 11}^{9 \pi / 22} \frac{d x}{1+\sqrt{\tan x}} = $

$\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\pi / 2} \frac{1}{1+\tan ^{2020}(x)} d x=$