मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$,$x \geq 1$,जहाँ $y(1) = 0$ का हल है। यदि रेखाओं $x = 1$,$x = e^{\pi}$,$y = 0$ और वक्र $y = y(x)$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल $\alpha e^{2\pi} + \beta$ है,तो $10(\alpha + \beta)$ का मान ....... है।

वक्रों का एक परिवार इस प्रकार है कि मूल बिंदु और किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा के बीच $y$-अक्ष पर काटा गया अंतःखंड, स्पर्श बिंदु की कोटि (ordinate) का तीन गुना है। वक्रों का परिवार है:

यदि किसी वस्तु को $110^{\circ} C$ तक गर्म किया जाता है और $10^{\circ} C$ तापमान वाली हवा में रखा जाता है,और $1 \text{ घंटे}$ बाद उसका तापमान $60^{\circ} C$ हो जाता है,तो उसे $30^{\circ} C$ तक ठंडा होने के लिए आवश्यक अतिरिक्त समय क्या है?

एक व्यक्ति की संपत्ति उसके व्यवसाय में इस प्रकार कम होती है कि कमी की दर मौजूदा संपत्ति के वर्गमूल के समानुपाती होती है। यदि शुरुआत में संपत्ति ₹ $10$ लाख थी और नुकसान के कारण $3$ साल बाद यह घटकर ₹ $10000$ रह गई,तो व्यक्ति के दिवालिया होने के लिए आवश्यक वर्षों की संख्या क्या होगी?

एक बैंक में,मूलधन $r \%$ प्रति वर्ष की दर से निरंतर बढ़ता है। यदि $Rs \, 100$ $10$ वर्षों में दोगुना हो जाता है,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए $\left(\log _{e} 2=0.6931\right)$। ($\%$ में)

एक गोलाकार गुब्बारा अपने पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती दर से फैलता है। प्रारंभ में इसकी त्रिज्या $2 \text{ cm}$ है और $5 \text{ मिनट}$ बाद यह बढ़कर $7 \text{ cm}$ हो जाती है। $12 \text{ मिनट}$ बाद गोलाकार गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा ($\text{ cm}^2$ में)?