मान लीजिए f, g: N rightarrow N इस प्रकार हैं | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(n+1) = f(n) + f(1)$। यह एक रैखिक पुनरावृत्ति संबंध है।$n=1$ के लिए,$f(2) = f(1) + f(1) = 2f(1)$।$n=2$ के लिए,$f(3) = f(2) + f(1) =

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यदि $g$ आच्छादक है,तो $fog$ एकैकी है

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(n+1) = f(n) + f(1)$। यह एक रैखिक पुनरावृत्ति संबंध है।$n=1$ के लिए,$f(2) = f(1) + f(1) = 2f(1)$।$n=2$ के लिए,$f(3) = f(2) + f(1) = 3f(1)$।गणितीय आगमन द्वारा,$f(n) = n f(1)$।चूंकि $f: N ightarrow N$,$f(1)$ एक धनात्मक पूर्णांक $k \in N$ होना चाहिए।अतः,$f(n) = kn$। चूंकि $k \geq 1$,$f(n_1) = f(n_2) \Rightarrow kn_1 = kn_2 \Rightarrow n_1 = n_2$,इसलिए $f$ एकैकी है। कथन $C$ सत्य है।यदि $fog$ एकैकी है,तो $f(g(x_1)) = f(g(x_2)) \Rightarrow g(x_1) = g(x_2)$ क्योंकि $f$ एकैकी है। चूँकि $fog$ एकैकी है,$x_1 = x_2$। अतः $g$ एकैकी है। कथन $A$ सत्य है।यदि $f$ आच्छादक है,तो किसी भी $y \in N$ के लिए,एक $n \in N$ मौजूद है ताकि $f(n) = y$,अर्थात $kn = y$। यह केवल तभी संभव है जब $k=1$,इसलिए $f(n) = n$। कथन $B$ सत्य है।यदि $g$ आच्छादक है,तो $fog$ का एकैकी होना आवश्यक नहीं है। यदि $g$ एकैकी नहीं है,तो $fog$ एकैकी नहीं हो सकता। अतः,कथन $D$ सत्य $	ext{नहीं}$ है।

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