ધારો કે m, n in mathbb{N} અને operatorname{gc | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{k}$ છે.ગુણધર્મ $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom

Vedclass · Accepted Answer

$45$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{k}$ છે.ગુણધર્મ $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{30-k}$.ધારો કે $r = 30-k$. જ્યારે $k$ એ $0$ થી $29$ સુધી જાય,ત્યારે $r$ એ $30$ થી $1$ સુધી જાય છે.$S = \sum_{r=1}^{30} r \binom{30}{r}$.નિત્યસમ $\sum_{r=1}^{n} r \binom{n}{r} = n 2^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = 30 \cdot 2^{30-1} = 30 \cdot 2^{29}$.$S = 15 \cdot 2 \cdot 2^{29} = 15 \cdot 2^{30}$.આપેલ છે કે $S = n \cdot 2^m$ જ્યાં $\operatorname{gcd}(2, n) = 1$,તેથી $n = 15$ અને $m = 30$.તેથી,$n + m = 15 + 30 = 45$.

ધારો કે $m, n \in \mathbb{N}$ અને $\operatorname{gcd}(2, n)=1$. જો $30\binom{30}{0} + 29\binom{30}{1} + \ldots + 2\binom{30}{28} + 1\binom{30}{29} = n \cdot 2^m$ હોય,તો $n + m$ ની કિંમત શોધો. (અહીં $\binom{n}{k} = {^nC_k}$)

Similar Questions

જો $C_r = { }^n C_r$ હોય,તો $C_0 + C_4 + C_8 + C_{12} + \ldots$ નો સરવાળો શોધો.

$\sum\limits_{k = 0}^{10} {^{20}{C_k} = }$

જો $n$ એક ધન પૂર્ણાંક હોય,તો $\sum_{r=1}^n r \cdot C_r =$

જો $^nC_0 + \frac{1}{2} ^nC_1 + \frac{1}{3} ^nC_2 + \dots + \frac{1}{n+1} ^nC_n = \frac{1023}{10}$ હોય, તો $n =$ શોધો.

જો $(\frac{1}{^{15}C_{0}}+\frac{1}{^{15}C_{1}})(\frac{1}{^{15}C_{1}}+\frac{1}{^{15}C_{2}})...(\frac{1}{^{15}C_{12}}+\frac{1}{^{15}C_{13}}) = \frac{a^{13}}{^{14}C_{0} \cdot ^{14}C_{1} \cdot ... \cdot ^{14}C_{12}}$ હોય, તો $30a$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module