माना कि vec{a}=hat{i}+alpha hat{j}+3 hat{k} औ | vedclass

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Question

(B) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \alpha \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\vec{b} = 3 \hat{i} - \alpha \hat{j} + \hat{k}$ हैं।समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

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$2$

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(B) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \alpha \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\vec{b} = 3 \hat{i} - \alpha \hat{j} + \hat{k}$ हैं।समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{a} 	imes \vec{b}| = 8 \sqrt{3}$ है।सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} 	imes \vec{b}$ की गणना करें:$\vec{a} 	imes \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & \alpha & 3 \ 3 & -\alpha & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(\alpha - (-3\alpha)) - \hat{j}(1 - 9) + \hat{k}(-\alpha - 3\alpha) = 4\alpha \hat{i} + 8 \hat{j} - 4\alpha \hat{k}$.अब,इसका परिमाण ज्ञात करें:$|\vec{a} 	imes \vec{b}| = \sqrt{(4\alpha)^2 + 8^2 + (-4\alpha)^2} = \sqrt{16\alpha^2 + 64 + 16\alpha^2} = \sqrt{32\alpha^2 + 64}$.दिए गए क्षेत्रफल के साथ तुलना करने पर:$\sqrt{32\alpha^2 + 64} = 8 \sqrt{3} \Rightarrow 32\alpha^2 + 64 = 64 	imes 3 = 192$.$32\alpha^2 = 192 - 64 = 128 \Rightarrow \alpha^2 = 4$.अंत में,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b}$ की गणना करें:$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (\alpha)(-\alpha) + (3)(1) = 3 - \alpha^2 + 3 = 6 - \alpha^2$.$\alpha^2 = 4$ रखने पर,हमें $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 - 4 = 2$ प्राप्त होता है।

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