ધારો કે f:[0, infty) rightarrow [0, infty) એ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે $f(x) = \int_{0}^{x} [y] \, dy$. $x \in [n, n+1)$ માટે,જ્યાં $n \in \mathbb{N}_0$,આપણી પાસે $y \in [n, x)$ માટે $[y] = n$ છે. તેથી,$f(x) =

Vedclass · Accepted Answer

$f$ એ $[0, \infty)$ માં દરેક બિંદુએ સતત છે અને પૂર્ણાંક બિંદુઓ સિવાય વિકલનીય છે.

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે $f(x) = \int_{0}^{x} [y] \, dy$. $x \in [n, n+1)$ માટે,જ્યાં $n \in \mathbb{N}_0$,આપણી પાસે $y \in [n, x)$ માટે $[y] = n$ છે. તેથી,$f(x) = \int_{0}^{1} 0 \, dy + \int_{1}^{2} 1 \, dy + \dots + \int_{n-1}^{n} (n-1) \, dy + \int_{n}^{x} n \, dy$. $f(x) = 0 + 1 + 2 + \dots + (n-1) + n(x-n) = \frac{(n-1)n}{2} + nx - n^2$. $n = [x]$ હોવાથી,$f(x) = \frac{[x]([x]-1)}{2} + [x](x-[x])$. કોઈપણ પૂર્ણાંક $x=n$ પર,ડાબી બાજુની લક્ષ $\lim_{x 	o n^-} f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ અને જમણી બાજુની લક્ષ $\lim_{x 	o n^+} f(x) = \frac{(n-1)n}{2} + n(n-n) = \frac{n(n-1)}{2}$ છે. લક્ષ સમાન હોવાથી,$f(x)$ એ તમામ $x \geq 0$ માટે સતત છે. જોકે,વિકલન $f'(x) = [x]$ એ પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર અસતત છે કારણ કે $\lim_{x 	o n^-} f'(x) = n-1$ અને $\lim_{x 	o n^+} f'(x) = n$. તેથી,$f$ એ દરેક જગ્યાએ સતત છે પરંતુ પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર વિકલનીય નથી.

Similar Questions

$f(x) = \begin{cases} \frac{x-4}{|x-4|} + a, & x < 4 \\ a+b, & x=4 \\ \frac{x-4}{|x-4|} + b, & x > 4 \end{cases}$
જો ઉપર આપેલ $f(x)$ એ $x=4$ આગળ સતત હોય,તો '$a$' અને '$b$' ની કિંમતો શોધો.

ધારો કે $f(x)$ એ વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય છે. જો તમામ $x \in R$ માટે $f^{\prime}(x)$ અચળ હોય,$f(0)=2$ અને $f^{\prime}(0)=1$ હોય,તો

આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos 4x}{x^2}, & x < 0 \\ a, & x = 0 \\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}, & x > 0 \end{cases}$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તો $a = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module