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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x} [y] \, dy$। $x \in [n, n+1)$ के लिए,जहाँ $n \in \mathbb{N}_0$,हमारे पास $y \in [n, x)$ के लिए $[y] = n$ है। अतः,$

Vedclass · Accepted Answer

$f$,$[0, \infty)$ में प्रत्येक बिंदु पर सतत है और पूर्णांक बिंदुओं को छोड़कर अवकलनीय है।

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x} [y] \, dy$। $x \in [n, n+1)$ के लिए,जहाँ $n \in \mathbb{N}_0$,हमारे पास $y \in [n, x)$ के लिए $[y] = n$ है। अतः,$f(x) = \int_{0}^{1} 0 \, dy + \int_{1}^{2} 1 \, dy + \dots + \int_{n-1}^{n} (n-1) \, dy + \int_{n}^{x} n \, dy$। $f(x) = 0 + 1 + 2 + \dots + (n-1) + n(x-n) = \frac{(n-1)n}{2} + nx - n^2$। चूँकि $n = [x]$,हमारे पास $f(x) = \frac{[x]([x]-1)}{2} + [x](x-[x])$ है। किसी भी पूर्णांक $x=n$ पर,बायाँ सीमा $\lim_{x 	o n^-} f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ है और दायाँ सीमा $\lim_{x 	o n^+} f(x) = \frac{(n-1)n}{2} + n(n-n) = \frac{n(n-1)}{2}$ है। चूँकि सीमाएँ समान हैं,$f(x)$ सभी $x \geq 0$ के लिए सतत है। हालाँकि,अवकलज $f'(x) = [x]$ पूर्णांक बिंदुओं पर असतत है क्योंकि $\lim_{x 	o n^-} f'(x) = n-1$ और $\lim_{x 	o n^+} f'(x) = n$ है। इसलिए,$f$ हर जगह सतत है लेकिन पूर्णांक बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है।

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