मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 4\}$ है। तो समुच्चय $\{f: S \times S \rightarrow S : f \text{ आच्छादक (onto) है और } f(a, b) = f(b, a) \geq a; \forall (a, b) \in S \times S\}$ में अवयवों की संख्या है

मान लीजिए $f:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R}$ इस प्रकार है कि $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए $f(\cos 4 \theta) = \frac{2}{2-\sec^2 \theta}$ है। तो $f\left(\frac{1}{3}\right)$ का मान (मानों) ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $[x]$,$x \in R$ का पूर्णांक भाग दर्शाता है। $g(x) = x - [x]$ है। मान लीजिए $f(x)$ एक सतत फलन है जहाँ $f(0) = f(1)$ है। तब फलन $h(x) = f(g(x))$:

यदि $f(x) = \cos(\log x)$ है,तो $f(x) \cdot f(y) - \frac{1}{2} \left( f\left(\frac{x}{y}\right) + f(xy) \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ है। तो प्रत्येक $m, n \in S$ और $m \cdot n \in S$ के लिए $f(m \cdot n) = f(m) \cdot f(n)$ को संतुष्ट करने वाले संभावित फलनों $f: S \rightarrow S$ की संख्या $......$ है।

मान लीजिए $S=(0,1) \cup(1,2) \cup(3,4)$ और $T=\{0,1,2,3\}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $S$ से $T$ तक अनंत फलन हैं।
$(B)$ $S$ से $T$ तक अनंत रूप से वर्धमान फलन हैं।
$(C)$ $S$ से $T$ तक सतत फलनों की संख्या अधिकतम $120$ है।
$(D)$ $S$ से $T$ तक प्रत्येक सतत फलन अवकलनीय है।