माना $P_{1}: \vec{r} \cdot(2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}) = 4$ एक समतल है। माना $P_{2}$ एक अन्य समतल है जो बिंदुओं $(2, -3, 2)$,$(2, -2, -3)$ और $(1, -4, 2)$ से होकर गुजरता है। यदि $P_{1}$ और $P_{2}$ की प्रतिच्छेदन रेखा के दिक अनुपात $16, \alpha, \beta$ हैं,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

समतल $2x-y+z+3=0$ में रेखा $\frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-5}$ की प्रतिबिंब रेखा है

तीन रेखाएँ $L_1: \overrightarrow{r} = \lambda \hat{i}, \lambda \in R$,$L_2: \overrightarrow{r} = \hat{k} + \mu \hat{j}, \mu \in R$,और $L_3: \overrightarrow{r} = \hat{i} + \hat{j} + v\hat{k}, v \in R$ दी गई हैं। $L_2$ पर स्थित किस बिंदु (बिंदुओं) $Q$ के लिए हम $L_1$ पर एक बिंदु $P$ और $L_3$ पर एक बिंदु $R$ ज्ञात कर सकते हैं ताकि $P, Q$ और $R$ संरेख हों?

यदि बिंदु $Q(1, 0, -1)$ से गुजरने वाले और रेखा $\vec{r} = (\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$ को समाहित करने वाले समतल की मूल बिंदु से लंबवत दूरी $\frac{p}{\sqrt{53}}$ है, तो $p = $

समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $\frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{4}$ को समाहित करता है और रेखाओं $\frac{x}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x}{2}=\frac{y}{-4}=\frac{z}{3}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत है।

मान लीजिए कि रेखा $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{b} = \frac{z-a+1}{1}, b>0$ में बिंदु $P(1, 6, a)$ का प्रतिबिंब $Q(\frac{a}{3}, 0, a+c)$ है। यदि $S(\alpha, \beta, \gamma), \alpha > 0$, रेखा $L$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $S$ की बिंदु $P$ से रेखा $L$ पर डाले गए लंबपाद $F$ से दूरी $2\sqrt{14}$ है, तो $\alpha + \beta + \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए: