तीन रेखाएँ L_1: overrightarrow{r} = lambda ha | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $P = (\lambda, 0, 0)$ रेखा $L_1$ पर एक बिंदु है,$Q = (0, \mu, 1)$ रेखा $L_2$ पर एक बिंदु है,और $R = (1, 1, v)$ रेखा $L_3$ पर एक बिंदु है

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$3, 4$

Vedclass · Answer

(D) मान लीजिए $P = (\lambda, 0, 0)$ रेखा $L_1$ पर एक बिंदु है,$Q = (0, \mu, 1)$ रेखा $L_2$ पर एक बिंदु है,और $R = (1, 1, v)$ रेखा $L_3$ पर एक बिंदु है। चूंकि $P, Q$ और $R$ संरेख हैं,सदिश $\vec{PQ}$ और $\vec{QR}$ समानुपाती होने चाहिए। $\vec{PQ} = (0 - \lambda, \mu - 0, 1 - 0) = (-\lambda, \mu, 1)$. $\vec{QR} = (1 - 0, 1 - \mu, v - 1) = (1, 1 - \mu, v - 1)$. संरेखता के लिए,$\frac{-\lambda}{1} = \frac{\mu}{1 - \mu} = \frac{1}{v - 1}$. इसका अर्थ है $\lambda = -\frac{\mu}{1 - \mu} = \frac{\mu}{\mu - 1}$ और $v - 1 = \frac{1 - \mu}{\mu}$,अतः $v = 1 + \frac{1 - \mu}{\mu} = \frac{1}{\mu}$. $\lambda$ और $v$ के ये मान $\mu = 0$ और $\mu = 1$ को छोड़कर सभी $\mu \in R$ के लिए मौजूद हैं। यदि $\mu = 0$,तो $Q = (0, 0, 1) = \hat{k}$. यदि $\mu = 1$,तो $Q = (0, 1, 1) = \hat{j} + \hat{k}$. अतः,$Q$,$\hat{k}$ और $\hat{j} + \hat{k}$ को छोड़कर $L_2$ पर कोई भी बिंदु हो सकता है। दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर: $(1)$ $\hat{k} + \hat{j}$ ($\mu = 1$ के अनुरूप,वर्जित) $(2)$ $\hat{k}$ ($\mu = 0$ के अनुरूप,वर्जित) $(3)$ $\hat{k} + \frac{1}{2}\hat{j}$ ($\mu = 0.5$ के अनुरूप,मान्य) $(4)$ $\hat{k} - \frac{1}{2}\hat{j}$ ($\mu = -0.5$ के अनुरूप,मान्य) इसलिए,बिंदु $3$ और $4$ मान्य हैं।

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