ધારો કે $f$ એ $\mathbb{R}$ પર બે વાર વિકલનીય વિધેય છે. જો $f^{\prime}(0)=4$ અને $f(x)+\int_{0}^{x}(x-t) f^{\prime}(t) d t=\left(e^{2 x}+e^{-2 x}\right) \cos 2 x+\frac{2}{a} x$ હોય,તો $(2 a+1)^{5} a^{2}$ ની કિંમત $\dots\dots$ થાય.

ધારો કે $F(x) = \int_x^{x^2+\frac{\pi}{6}} 2 \cos^2 t \, dt$ દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે છે અને $f: [0, \frac{1}{2}] \rightarrow [0, \infty)$ એક સતત વિધેય છે. $a \in [0, \frac{1}{2}]$ માટે,જો $F'(a) + 2$ એ $x=0, y=0, y=f(x)$ અને $x=a$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $f(0)$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\pi /2} \sin^4 x \cos^6 x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} (\cos 2x)^{3/2} \cos x \,dx =$

ધારો કે રેખા $45 x+5 y+3=0$ નો ઢાળ $27 r_1+\frac{9 r_2}{2}$ છે,જ્યાં $r_1, r_2 \in R$. તો $\lim_{x \rightarrow 3} \left( \int_3^x \frac{8 t^2}{\frac{3 r_2 x}{2}-r_2 x^2-r_1 x^3-3 x} dt \right)$ ની કિંમત ................... છે.

$\int_0^{\pi /2} \sin^2 x \cos^3 x \, dx = $