ધારો કે A = begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 1 & 0 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \ 1 & 0 & -1 \ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$. $A^2$ ની ગણતરી કરતા: $A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \ 1

Vedclass · Accepted Answer

$17$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \ 1 & 0 & -1 \ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$. $A^2$ ની ગણતરી કરતા: $A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \ 1 & 0 & -1 \ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \ 1 & 0 & -1 \ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \ 1 & 0 & -1 \ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} = A$. તેથી, દરેક $n \geq 1$ માટે $A^n = A$. હવે, $B = A - I = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \ 1 & -1 & -1 \ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$. $B^2$ ની ગણતરી કરતા: $B^2 = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \ 1 & -1 & -1 \ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \ 1 & -1 & -1 \ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \ -1 & 1 & 1 \ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = -B$. તેથી $B^3 = -B^2 = B$, $B^4 = -B$, $B^5 = B$, અને સામાન્ય રીતે એકી $n$ માટે $B^n = B$ અને બેકી $n$ માટે $B^n = -B$. સમીકરણ $A + \omega^n B^n = A + B$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $\omega^n B^n = B$. કિસ્સો $1$: $n$ એકી છે. તો $B^n = B$, તેથી $\omega^n B = B \Rightarrow \omega^n = 1$. $\omega = e^{i2\pi/3}$ હોવાથી, $\omega^n = 1$ નો અર્થ છે કે $n$ એ $3$ નો ગુણક છે. તેથી $n \in \{3, 9, 15, \ldots, 99\}$. આ સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a=3, d=6, l=99$. $99 = 3 + (k-1)6 \Rightarrow 96 = (k-1)6 \Rightarrow 16 = k-1 \Rightarrow k = 17$. કિસ્સો $2$: $n$ બેકી છે. તો $B^n = -B$, તેથી $\omega^n (-B) = B \Rightarrow \omega^n = -1$. $\omega^n = -1$ નો અર્થ છે કે $n$ એ $3$ નો એકી ગુણક છે, પરંતુ $n$ બેકી હોવો જોઈએ, તેથી અહીં કોઈ ઉકેલ નથી. આમ, કુલ $17$ કિંમતો મળે છે.

Similar Questions

જો $\begin{bmatrix} -1 & 2 & b \\ a & 5 & 6 \\ 3 & c & 7 \end{bmatrix}$ એ સંમિત શ્રેણિક હોય, તો $\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} =$

જો $P = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$,$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $Q = PAP^T$ હોય,તો $P^T(Q^{2005})P$ ની કિંમત શોધો.

$A$ અને $B$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે જેથી $AB + A + B = 0$ થાય,તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module