मान लीजिए कि P और Q क्रमशः वक्रों (x-1)^{2}+( | vedclass

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Question

(C) वृत्त $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1$ है जिसका केंद्र $C(1, -1)$ और त्रिज्या $r=1$ है। मान लीजिए $Q(t, t^{2})$ परवलय $y=x^{2}$ पर एक बिंदु है।$P$ और $Q$ क

Vedclass · Accepted Answer

$\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(C) वृत्त $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1$ है जिसका केंद्र $C(1, -1)$ और त्रिज्या $r=1$ है। मान लीजिए $Q(t, t^{2})$ परवलय $y=x^{2}$ पर एक बिंदु है।$P$ और $Q$ के बीच की दूरी तब न्यूनतम होती है जब $Q$ वृत्त के केंद्र $C$ से गुजरने वाले अभिलंब पर स्थित हो। अतः,$Q$ पर परवलय का अभिलंब केंद्र $C(1, -1)$ से गुजरना चाहिए।$Q(t, t^{2})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_{T} = 2t$ है। अतः अभिलंब की ढाल $m_{N} = -\frac{1}{2t}$ है।रेखा $CQ$ की ढाल $\frac{t^{2}-(-1)}{t-1} = \frac{t^{2}+1}{t-1}$ है।ढालों की तुलना करने पर: $\frac{t^{2}+1}{t-1} = -\frac{1}{2t} \Rightarrow 2t^{3}+3t-1=0$ प्राप्त होता है।मान लीजिए $f(t) = 2t^{3}+3t-1$ है। चूंकि $f(1/4)  0$ है,इसलिए $t \in (1/4, 1/2)$ प्राप्त होता है।वृत्त पर बिंदु $P$,रेखा $CQ$ और वृत्त का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $P$ का $x$-निर्देशांक $x_P = 1 + \cos \phi$ है,जहाँ $\phi$ रेखा $CQ$ का कोण है। गणना करने पर $x_P$ का मान $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ अंतराल में आता है।

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