मान लीजिए S उन सभी (alpha, beta) का समुच्चय ह | vedclass

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Question

(C) दिया है $\pi < \alpha, \beta < 2\pi$.$\frac{1-i \sin \alpha}{1+2i \sin \alpha}$ के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए।$

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$1$

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(C) दिया है $\pi $\frac{1-i \sin \alpha}{1+2i \sin \alpha}$ के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए।$\frac{(1-i \sin \alpha)(1-2i \sin \alpha)}{1+4 \sin^2 \alpha} = \frac{1 - 2\sin^2 \alpha - 3i \sin \alpha}{1+4 \sin^2 \alpha}$.वास्तविक भाग को शून्य रखने पर: $1 - 2\sin^2 \alpha = 0 \Rightarrow \sin^2 \alpha = \frac{1}{2}$.चूंकि $\pi $\frac{1+i \cos \beta}{1-2i \cos \beta}$ के शुद्ध वास्तविक होने के लिए,इसका काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए।$\frac{(1+i \cos \beta)(1+2i \cos \beta)}{1+4 \cos^2 \beta} = \frac{1 - 2\cos^2 \beta + 3i \cos \beta}{1+4 \cos^2 \beta}$.काल्पनिक भाग को शून्य रखने पर: $3 \cos \beta = 0 \Rightarrow \cos \beta = 0$.चूंकि $\pi $\alpha = \frac{5\pi}{4}$ के लिए,$\sin 2\alpha = \sin \frac{5\pi}{2} = 1$. $\alpha = \frac{7\pi}{4}$ के लिए,$\sin 2\alpha = \sin \frac{7\pi}{2} = -1$.$\beta = \frac{3\pi}{2}$ के लिए,$\cos 2\beta = \cos 3\pi = -1$.अतः,$Z_1 = 1-i$ और $Z_2 = -1-i$.$Z = 1-i$ के लिए,$iZ + \frac{1}{i\bar{Z}} = \frac{1+i}{2}$.$Z = -1-i$ के लिए,$iZ + \frac{1}{i\bar{Z}} = \frac{1-i}{2}$.योग $= \frac{1+i}{2} + \frac{1-i}{2} = 1$.

List-$I$	List-$II$
$(i)$ $a \bar{a}$	$(A)$ $-\frac{\pi}{3}$
$(ii)$ $\arg \left(\frac{1}{\bar{a}}\right)$	$(B)$ $-i \sqrt{3}$
$(iii)$ $a - \bar{a}$	$(C)$ $2i / \sqrt{3}$
$(iv)$ $\operatorname{Im}\left(\frac{4}{3a}\right)$	$(D)$ $1$
	$(E)$ $\pi / 3$
	$(F)$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

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