मान लीजिए A = begin{bmatrix} 1 & 2 -2 & -5 e | vedclass

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Question

(D) आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है। $\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \ -2 & -5 - \lambda \end{vmatrix} = 0

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$10$

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(D) आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है। $\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \ -2 & -5 - \lambda \end{vmatrix} = 0$ $(1 - \lambda)(-5 - \lambda) - (2)(-2) = 0$ $-5 - \lambda + 5\lambda + \lambda^{2} + 4 = 0$ $\lambda^{2} + 4\lambda - 1 = 0$ केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए $A^{2} + 4A - I = 0$,जिसका अर्थ है कि $A^{2} + 4A = I$ है। दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2A^{2} + 8A = 2I$ प्राप्त होता है। हमें $\alpha A^{2} + \beta A = 2I$ दिया गया है। गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\alpha = 2$ और $\beta = 8$ प्राप्त होता है। अतः,$\alpha + \beta = 2 + 8 = 10$।

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