मान लीजिए कि y=y_{1}(x) और y=y_{2}(x) अवकल सम | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - y = x$ एक रैखिक अवकल समीकरण है।समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।दोनों पक्षों को $e^{-x}$ से ग

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - y = x$ एक रैखिक अवकल समीकरण है।समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।दोनों पक्षों को $e^{-x}$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = x e^{-x}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y e^{-x} = \int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C$ प्राप्त होता है।अतः,व्यापक हल $y = -x - 1 + C e^{x}$ है।$y_{1}(0) = 0$ के लिए,$0 = -0 - 1 + C(1) \Rightarrow C = 1$। अतः,$y_{1}(x) = e^{x} - x - 1$ है।$y_{2}(0) = 1$ के लिए,$1 = -0 - 1 + C(1) \Rightarrow C = 2$। अतः,$y_{2}(x) = 2e^{x} - x - 1$ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y_{1}(x) = y_{2}(x)$ रखें:$e^{x} - x - 1 = 2e^{x} - x - 1$।इसे सरल करने पर $e^{x} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका $x$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है।अतः,प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या $0$ है।

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