ધારો કે $\{a_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ એક શ્રેણી છે જ્યાં $a_{0}=0, a_{1}=0$ અને $a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_{n}+1$ દરેક $n \geq 0$ માટે. તો $a_{25}a_{23}-2a_{25}a_{22}-2a_{23}a_{24}+4a_{22}a_{24}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $n \geq 4$ એક ધન પૂર્ણાંક છે અને $l_1, l_2, \ldots, l_n$ એ $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણ $P$ ની બાજુઓની લંબાઈ છે. ધારો કે $\frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_3} + \ldots + \frac{l_{n-1}}{l_n} + \frac{l_n}{l_1} = n$. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I$. $P$ ની બાજુઓની લંબાઈ સમાન છે.
$II$. $P$ ના ખૂણાઓ સમાન છે.
$III$. જો $P$ ચક્રીય હોય તો તે નિયમિત બહુકોણ છે.

$S_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \ldots$ $n$ પદો સુધી છે. જો $-p$ પ્રથમ પદ અને $p$ સામાન્ય તફાવત ધરાવતી $A.P.$ ના પ્રથમ છ પદોનો સરવાળો $\sqrt{2026 S_{2025}}$ હોય,તો $A.P.$ ના $20$ મા અને $15$ મા પદ વચ્ચેનો તફાવત કેટલો થાય?

જો ત્રણ અસમાન સંખ્યાઓ $p, q, r$ એ $H.P.$ માં હોય અને તેમના વર્ગો $A.P.$ માં હોય,તો ગુણોત્તર $p:q:r$ શું થાય?

ધારો કે $x_1, x_2, \ldots, x_{100}$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,જ્યાં $x_1 = 2$ અને તેમનો મધ્યક $200$ છે. જો $y_i = i(x_i - i), 1 \leq i \leq 100$ હોય,તો $y_1, y_2, \ldots, y_{100}$ નો મધ્યક શોધો.

ધારો કે એક અનંત $G.P.$ નો સરવાળો,જેનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે,તે $5$ છે. ધારો કે તેના પ્રથમ પાંચ પદોનો સરવાળો $\frac{98}{25}$ છે. તો એક $A.P.$ ના પ્રથમ $21$ પદોનો સરવાળો,જેનું પ્રથમ પદ $10ar$,$n$-મું પદ $a_n$ અને સામાન્ય તફાવત $10ar^2$ છે,તે કોના બરાબર થાય?