मान लीजिए $f:(-1,1) \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है जो सभी $x \in (-1,1)$ के लिए $(f^{\prime}(x))^4 = 16(f(x))^2$ और $f(0)=0$ को संतुष्ट करता है। ऐसे फलनों की संख्या है:

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin y + e^x}{\ln y - x \cos y}$ का हल है:

सत्यापित कीजिए कि दिया गया फलन $y = x \sin x$ अवकल समीकरण $x y^{\prime} = y + x \sqrt{x^2 - y^2}$ का हल है (जहाँ $x \neq 0$ और $x > y$ या $x < -y$)।

उन सभी वृत्तों के परिवार पर विचार करें जिनके केंद्र सीधी रेखा $y = x$ पर स्थित हैं। यदि वृत्तों के इस परिवार को अवकल समीकरण $P y^{\prime \prime} + Q y^{\prime} + 1 = 0$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $P, Q$ $x, y$ और $y^{\prime}$ के फलन हैं (यहाँ $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}, y^{\prime \prime} = \frac{d^2y}{dx^2}$),तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A) P = y + x$
$(B) P = y - x$
$(C) P + Q = 1 - x + y + y^{\prime} + (y^{\prime})^2$
$(D) P - Q = x + y - y^{\prime} - (y^{\prime})^2$

यदि रूपांतरण $z = \log \tan \frac{x}{2}$ अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2} + \cot x \frac{d y}{d x} + 4 y \operatorname{cosec}^2 x = 0$ को $\frac{d^2 y}{d z^2} + k y = 0$ के रूप में कम करता है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक वक्र $y = f(x)$ जो बिंदु $\left(1, \frac{1}{\sqrt{e}}\right)$ से गुजरता है,अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + x e^{-\frac{x^2}{2}} = 0$ को संतुष्ट करता है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?