मान लीजिए n 2 एक पूर्णांक है और एक बहुपद p( | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $n p(x) = (1 + x) p'(x)$।मान लीजिए $p(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k$ जहाँ $a_n = 1$ है।समीकरण $n \sum_{k=0}^n a_k x^k = (1 + x) \sum_{k=1}

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$b$,$2$ की घात है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $n p(x) = (1 + x) p'(x)$।मान लीजिए $p(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k$ जहाँ $a_n = 1$ है।समीकरण $n \sum_{k=0}^n a_k x^k = (1 + x) \sum_{k=1}^n k a_k x^{k-1}$ है।दोनों पक्षों पर $x^k$ के गुणांकों की तुलना करने पर:$n a_k = (k+1) a_{k+1} + k a_k$।यह सरल होकर $(n-k) a_k = (k+1) a_{k+1}$ हो जाता है,या $a_{k+1} = \frac{n-k}{k+1} a_k$।चूंकि $a_n = 1$,हमें $a_{n-1} = \binom{n}{1}$ प्राप्त होता है।गणितीय आगमन द्वारा,$a_{n-k} = \binom{n}{k}$।अतः,$p(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} = (x+1)^n$।तब $b = p(1) = (1+1)^n = 2^n$।इसलिए,$b$,$2$ की घात है।

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