ધારો કે f: R rightarrow R એ એક સતત વિધેય છે જ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ સમીકરણ: $f(x) + \int_{0}^{x} t f(t) dt + x^2 = 0$. લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા: $f'(x) + x f(x) + 2x =

Vedclass · Accepted Answer

$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -2$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ સમીકરણ: $f(x) + \int_{0}^{x} t f(t) dt + x^2 = 0$. લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા: $f'(x) + x f(x) + 2x = 0$. પદોને ગોઠવતા: $f'(x) = -x(f(x) + 2)$. આ પ્રથમ ક્રમનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ચલ અલગ કરતા: $\frac{f'(x)}{f(x) + 2} = -x$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|f(x) + 2| = -\frac{x^2}{2} + C$. આમ,$f(x) + 2 = A e^{-x^2/2}$,અથવા $f(x) = A e^{-x^2/2} - 2$. મૂળ સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા: $f(0) + \int_{0}^{0} t f(t) dt + 0^2 = 0 \Rightarrow f(0) = 0$. $f(x) = A e^{-x^2/2} - 2$ માં $x = 0$ મૂકતા: $0 = A(1) - 2 \Rightarrow A = 2$. તેથી,$f(x) = 2 e^{-x^2/2} - 2$. હવે,લક્ષની કિંમત શોધતા: $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} (2 e^{-x^2/2} - 2) = 0 - 2 = -2$. $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} (2 e^{-x^2/2} - 2) = 0 - 2 = -2$. આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ એક સતત વિધેય છે જે તમામ $x \in R$ માટે $f(x) + \int_{0}^{x} t f(t) dt + x^2 = 0$ નું પાલન કરે છે. તો:

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - y \tan x = e^x \sec x$ નો ઉકેલ શોધો.

$\frac{dy}{dx} + y = e^x$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1 + y^2)dx - (\tan^{-1} y - x)dy = 0$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module