मान लीजिए S_n उन सभी पूर्णांकों k का योग है ज | vedclass

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Question

(C) पूर्णांक $k$,$2^n+1, 2^n+2, \dots, 2^{n+1}-1$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 2^n+1$,$l = 2^{n+1}-1$,और पदों की संख्या $N = 2^n-1$ है। योग

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$n$ सम है

Vedclass · Answer

(C) पूर्णांक $k$,$2^n+1, 2^n+2, \dots, 2^{n+1}-1$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 2^n+1$,$l = 2^{n+1}-1$,और पदों की संख्या $N = 2^n-1$ है। योग $S_n = \frac{N}{2}(a+l) = 3 \cdot 2^{n-1}(2^n-1)$ है। $9$,$S_n$ को विभाजित करे इसके लिए $2^{n-1}(2^n-1)$ को $3$ का गुणज होना चाहिए। चूंकि $2 \equiv -1 \pmod{3}$,इसलिए $2^n-1$ केवल तभी $3$ से विभाज्य है जब $n$ सम हो।

मान लीजिए $S_n$ उन सभी पूर्णांकों $k$ का योग है जिनके लिए $2^n < k < 2^{n+1}$,$n \geq 1$ के लिए। तब,$9$,$S_n$ को विभाजित करता है यदि और केवल यदि

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