मान लीजिए N वह संख्या है जो एक निष्पक्ष पासा | vedclass

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Question

(C) दी गई समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:$x+y+z=1$$2x+Ny+2z=2$$3x+3y+Nz=3$प्रणाली का अद्वितीय हल तब होता है जब गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta 
eq 0$ हो

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$20$

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(C) दी गई समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:$x+y+z=1$$2x+Ny+2z=2$$3x+3y+Nz=3$प्रणाली का अद्वितीय हल तब होता है जब गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta 
eq 0$ हो।$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 2 & N & 2 \ 3 & 3 & N \end{vmatrix}$पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:$\Delta = 1(N^2 - 6) - 1(2N - 6) + 1(6 - 3N)$$\Delta = N^2 - 6 - 2N + 6 + 6 - 3N$$\Delta = N^2 - 5N + 6 = (N-2)(N-3)$अद्वितीय हल के लिए,$\Delta 
eq 0$,जिसका अर्थ है $N 
eq 2$ और $N 
eq 3$।चूंकि $N$ एक निष्पक्ष पासे का परिणाम है,$N \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$।$N$ के वे मान जिनके लिए प्रणाली का अद्वितीय हल है,$\{1, 4, 5, 6\}$ हैं।ऐसे $4$ मान हैं,इसलिए प्रायिकता $\frac{4}{6}$ है,जिससे $k = 4$ प्राप्त होता है।$k$ और $N$ के उन सभी संभावित मानों का योग जिनके लिए प्रणाली का अद्वितीय हल है,$4 + (1 + 4 + 5 + 6) = 4 + 16 = 20$ है।

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$x$ के किन मानों के लिए दिया गया आव्यूह $\left[\begin{array}{ccc}-x & x & 2 \\ 2 & x & -x \\ x & -2 & -2\end{array}\right]$ व्युत्क्रमणीय (non-singular) होगा?

$x$ के मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\left|\begin{array}{ll}3 & x \\ x & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 4 & 1\end{array}\right|$ है।

सारणिक का मान ज्ञात कीजिए: $\left|\begin{array}{cc}x^{2}-x+1 & x-1 \\ x+1 & x+1\end{array}\right|$

यदि ${a^{ - 1}} + {b^{ - 1}} + {c^{ - 1}} = 0$ इस प्रकार है कि $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + a}&1&1\\1&{1 + b}&1\\1&1&{1 + c}\end{array}} \right| = \lambda $,तो $\lambda $ का मान है

$\theta$ का एक मान जिसके लिए निम्नलिखित समीकरण निकाय का एक अशून्य हल है:
$(4 \sin \theta) x - 3y + z = 0$
$x - (6 \cos 2\theta) y + z = 0$
$3x - 12y + 4z = 0$

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