मान लीजिए कि y=y(x) अवकल समीकरण (x^2-3y^2)dx+ | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2-3y^2)dx+3xydy=0$ है।इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{3y^2-x^2}{3xy} = \frac{y}{x} - \frac{1}{3}\frac{x}{y}$ के रूप में लिखा ज

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$2e^2$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2-3y^2)dx+3xydy=0$ है।इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{3y^2-x^2}{3xy} = \frac{y}{x} - \frac{1}{3}\frac{x}{y}$ के रूप में लिखा जा सकता है।माना $y=vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।समीकरण में मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = v - \frac{1}{3v}$।इसे सरल करने पर $x\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{3v}$,या $3vdv = -\frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int 3vdv = -\int \frac{dx}{x} \Rightarrow \frac{3v^2}{2} = -\ln|x| + C$।$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\frac{3y^2}{2x^2} = -\ln|x| + C$।चूँकि $y(1)=1$ दिया गया है,$\frac{3(1)^2}{2(1)^2} = -\ln(1) + C \Rightarrow C = \frac{3}{2}$।अतः,$\frac{3y^2}{2x^2} = -\ln|x| + \frac{3}{2} \Rightarrow 3y^2 = 3x^2 - 2x^2\ln|x|$।$x=e$ पर,$3y^2(e) = 3e^2 - 2e^2\ln(e) = 3e^2 - 2e^2 = e^2$।इसलिए,$6y^2(e) = 2(3y^2(e)) = 2e^2$।

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(x^2-3y^2)dx+3xydy=0$ का हल है,जहाँ $y(1)=1$ है। तो $6y^2(e)$ का मान $......$ है।

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