मान लीजिए A = {(x, y) in R^2 : y geq 0, 2x le | vedclass

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Question

(A) वृत्त का समीकरण $(x-1)^2 + y^2 = 4$ है,जिसका केंद्र $(1, 0)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।समुच्चय $A$ के लिए,क्षेत्र $y = 2x$ और वृत्त के ऊपरी चाप द्वार

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$\frac{\pi-1}{\pi+1}$

Vedclass · Answer

(A) वृत्त का समीकरण $(x-1)^2 + y^2 = 4$ है,जिसका केंद्र $(1, 0)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।समुच्चय $A$ के लिए,क्षेत्र $y = 2x$ और वृत्त के ऊपरी चाप द्वारा घिरा हुआ है। $y = 2x$ और $(x-1)^2 + y^2 = 4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $y=2x$ प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: $(x-1)^2 + 4x^2 = 4 \implies 5x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (5x+3)(x-1) = 0$. चूंकि $y \geq 0$,हम $x=1$ लेते हैं,जो $y=2$ देता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 2)$ है।$A$ का क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक वृत्तीय चाप के नीचे का क्षेत्रफल माइनस $(0,0), (1,0), (1,2)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल है।$A$ का क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} \sqrt{4-(x-1)^2} dx - 	ext{Area}(	riangle OAB) = \frac{1}{4}(\pi 	imes 2^2) - \frac{1}{2}(1)(2) = \pi - 1$.समुच्चय $B$ के लिए,क्षेत्र $x \in [0, 1]$ के लिए $y = 2x$ और $x > 1$ के लिए वृत्तीय चाप द्वारा घिरा हुआ है। क्षेत्रफल $(0,0), (1,0), (1,2)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल और $x=1$ से $x=3$ तक वृत्तीय चाप के नीचे के क्षेत्रफल का योग है।$B$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}(1)(2) + \int_{1}^{3} \sqrt{4-(x-1)^2} dx = 1 + \frac{1}{4}(\pi 	imes 2^2) = 1 + \pi$.$A$ और $B$ के क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{\pi-1}{\pi+1}$ है।

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