मान लीजिए [x] सबसे बड़े पूर्णांक leq x को दर् | vedclass

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Question

(A) हमें $I = \int_0^2 \max \{x^2, 1 + [x]\} dx$ का मूल्यांकन करना है।$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $f(x) = \max \{x^2, 1\} = 1$ है।$x \in [1,

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$\frac{5+4 \sqrt{2}}{3}$

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(A) हमें $I = \int_0^2 \max \{x^2, 1 + [x]\} dx$ का मूल्यांकन करना है।$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $f(x) = \max \{x^2, 1\} = 1$ है।$x \in [1, \sqrt{2})$ के लिए,$[x] = 1$,इसलिए $f(x) = \max \{x^2, 2\} = 2$ है (क्योंकि $x $x \in [\sqrt{2}, 2)$ के लिए,$[x] = 1$,इसलिए $f(x) = \max \{x^2, 2\} = x^2$ है (क्योंकि $x \geq \sqrt{2}$ के लिए $x^2 \geq 2$ है)।$x=2$ पर,$f(2) = \max \{4, 1+2\} = 4$ है।अतः,समाकल इस प्रकार है:$I = \int_0^1 1 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 2 dx + \int_{\sqrt{2}}^2 x^2 dx$$I = [x]_0^1 + [2x]_1^{\sqrt{2}} + [\frac{x^3}{3}]_{\sqrt{2}}^2$$I = (1 - 0) + (2\sqrt{2} - 2) + (\frac{8}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3})$$I = 1 + 2\sqrt{2} - 2 + \frac{8}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3}$$I = (1 - 2 + \frac{8}{3}) + (2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3})$$I = \frac{5}{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{5+4\sqrt{2}}{3}$.

मान लीजिए $[x]$ सबसे बड़े पूर्णांक $\leq x$ को दर्शाता है। फलन $f(x) = \max \{x^2, 1 + [x]\}$ पर विचार करें। तब समाकल $\int_0^2 f(x) dx$ का मान है:

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