मान लीजिए $a_1=b_1=1$ और $a_n=a_{n-1}+(n-1)$,$b_n=b_{n-1}+a_{n-1}$,$\forall n \geq 2$. यदि $S =\sum \limits_{n=1}^{10} \frac{b_n}{2^n}$ और $T =\sum \limits_{n=1}^8 \frac{n}{2^{n-1}}$ है,तो $2^7(2S - T)$ का मान $........$ है।

यदि एक $A.P.$ के $(m + 1)^{th}$,$(n + 1)^{th}$ और $(r + 1)^{th}$ पद $G.P.$ में हैं और $m, n, r$ $H.P.$ में हैं,तो $A.P.$ के सार्व अंतर और प्रथम पद के अनुपात का मान क्या होगा?

मान लीजिए $n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $a_n = \frac{10^n}{n!}$ है,तो $n$ का वह अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $a_n$ अधिकतम है।

मान लीजिए $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{10}$ एक $AP$ है जिसका सार्व अंतर $-3$ है और $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{10}$ एक $GP$ है जिसका सार्व अनुपात $2$ है। मान लीजिए $c_{k}=a_{k}+b_{k}, k=1, 2, \ldots, 10$ है। यदि $c_{2}=12$ और $c_{3}=13$ है,तो $\sum_{k=1}^{10} c_{k}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $|x| < 1, |y| < 1$ और $x \neq y$ है,तो निम्नलिखित श्रेणी $(x+y)+(x^{2}+xy+y^{2})+(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3})+\ldots$ का अनंत तक योग क्या है?

मान लीजिए कि एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ के प्रथम $n$ पदों का योग $3n^2 + 5n$ है। तो इस समांतर श्रेणी के प्रथम $10$ पदों के वर्गों का योग क्या होगा?