यदि एक $A.P.$ के $(m + 1)^{th}$,$(n + 1)^{th}$ और $(r + 1)^{th}$ पद $G.P.$ में हैं और $m, n, r$ $H.P.$ में हैं,तो $A.P.$ के सार्व अंतर और प्रथम पद के अनुपात का मान क्या होगा?

मान लीजिए $3, a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं और $3, a-1, b+1, c+9$ एक $G.P.$ में हैं। तो $a, b$ और $c$ का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए:

माना $a_{1}=1$ और $n \ge 1$ के लिए, $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$ है। तो $|\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}-\frac{2}{n^{2}})|$ का मान ........... है।

मान लीजिए कि $\{a_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ एक अनुक्रम है जहाँ $a_{0}=0, a_{1}=0$ और $a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_{n}+1$ सभी $n \geq 0$ के लिए है। तो $a_{25}a_{23}-2a_{25}a_{22}-2a_{23}a_{24}+4a_{22}a_{24}$ का मान ज्ञात कीजिए।

अनुक्रम $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ पर विचार करें जहाँ $a_{1}=1, a_{2}=2$ और $n=1, 2, 3, \ldots$ के लिए $a_{n+2}=\frac{2}{a_{n+1}}+a_{n}$ है। यदि $\left(\frac{a_{1}+\frac{1}{a_{2}}}{a_{3}}\right) \cdot\left(\frac{a_{2}+\frac{1}{a_{3}}}{a_{4}}\right) \cdot\left(\frac{a_{3}+\frac{1}{a_{4}}}{a_{5}}\right) \cdots\left(\frac{a_{30}+\frac{1}{a_{31}}}{a_{32}}\right)=2^{\alpha}\left({}^{61}C_{31}\right)$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि अनुक्रम $\frac{1}{16}, a, b, \frac{1}{6}$ के पहले तीन पद गुणोत्तर श्रेणी में हैं और अंतिम तीन पद हरात्मक श्रेणी में हैं,तो $a$ और $b$ के मान क्या होंगे?