माना a_{1}=1 और n ge 1 के लिए, a_{n+1} = frac | vedclass

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Question

(B) दिया गया पुनरावृत्ति संबंध: $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.इसे $a_{n+1} - \frac{1}{2}a_{n} = \frac{2}{(n+1)^{2}}

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$2$

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(B) दिया गया पुनरावृत्ति संबंध: $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.इसे $a_{n+1} - \frac{1}{2}a_{n} = \frac{2}{(n+1)^{2}} - \frac{1}{n^{2}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।माना $b_{n} = a_{n} - \frac{2}{n^{2}}$. तब $a_{n} = b_{n} + \frac{2}{n^{2}}$.इसे संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:$b_{n+1} + \frac{2}{(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}(b_{n} + \frac{2}{n^{2}}) + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{1}{n^{2}} - \frac{2}{(n+1)^{2}} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.दाहिनी ओर को सरल करने पर:$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{(n+1)^{2} - 2n^{2} + n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{n^{2}+2n+1-2n^{2}+n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}b_{n}$.चूंकि $b_{1} = a_{1} - \frac{2}{1^{2}} = 1 - 2 = -1$, इसलिए $b_{n} = b_{1} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = -(\frac{1}{2})^{n-1}$.अतः, $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} -(\frac{1}{2})^{n-1} = -\frac{1}{1 - 1/2} = -2$.इसलिए, $|\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}| = |-2| = 2$.

माना $a_{1}=1$ और $n \ge 1$ के लिए, $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$ है। तो $|\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}-\frac{2}{n^{2}})|$ का मान ........... है।

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मान लीजिए $n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $a_n = \frac{10^n}{n!}$ है,तो $n$ का वह अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $a_n$ अधिकतम है।

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निम्नलिखित अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए और संगत श्रेणी प्राप्त कीजिए:
$a_{1} = a_{2} = 2, a_{n} = a_{n-1} - 1, n > 2$

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