ધારો કે $\{a_k\}$ અને $\{b_k\}, k \in N$,એ બે $G$.$P$. છે જેમના સામાન્ય ગુણોત્તર અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે,જેથી $a_1=b_1=4$ અને $r_1 < r_2$. ધારો કે $c_k=a_k+b_k, k \in N$. જો $c_2=5$ અને $c_3=13/4$ હોય,તો $\sum_{k=1}^{\infty} c_k - (12a_6 + 8b_4)$ ની કિંમત શોધો.

$S_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \ldots$ $n$ પદો સુધી છે. જો $-p$ પ્રથમ પદ અને $p$ સામાન્ય તફાવત ધરાવતી $A.P.$ ના પ્રથમ છ પદોનો સરવાળો $\sqrt{2026 S_{2025}}$ હોય,તો $A.P.$ ના $20$ મા અને $15$ મા પદ વચ્ચેનો તફાવત કેટલો થાય?

ત્રણ સંખ્યાઓ $G.P.$ માં છે. જો $3^{rd}$ પદમાંથી $64$ ઘટાડવામાં આવે,તો મળતી ત્રણ સંખ્યાઓ $A.P.$ બનાવે છે. જો આ $A.P.$ ના બીજા પદમાંથી $8$ ઘટાડવામાં આવે,તો ફરીથી $G.P.$ બને છે. તો તે સંખ્યાઓ શોધો.

ધારો કે $n \geq 4$ એક ધન પૂર્ણાંક છે અને $l_1, l_2, \ldots, l_n$ એ $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણ $P$ ની બાજુઓની લંબાઈ છે. ધારો કે $\frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_3} + \ldots + \frac{l_{n-1}}{l_n} + \frac{l_n}{l_1} = n$. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I$. $P$ ની બાજુઓની લંબાઈ સમાન છે.
$II$. $P$ ના ખૂણાઓ સમાન છે.
$III$. જો $P$ ચક્રીય હોય તો તે નિયમિત બહુકોણ છે.

એક શ્રેણી $\{a_n\}_{n \geq 0}$ ને $a_n = \sqrt{\frac{1+a_{n-1}}{2}}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં $n \geq 1$ અને $a_0 = \cos \theta \neq \pm 1$ છે. તો,$\lim_{n \rightarrow \infty} 4^n(1-a_n)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $3, a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે અને $3, a-1, b+1, c+9$ એ $G.P.$ માં છે. તો $a, b$ અને $c$ નો સમાંતર મધ્યક શોધો: