ધારો કે $A = \begin{bmatrix} m & n \\ p & q \end{bmatrix}$,$d = |A| \neq 0$ અને $|A - d(\operatorname{Adj} A)| = 0$. તો:

જો $A$ એક ચોરસ શ્રેણિક હોય અને $A^2+I=2 A$ હોય, તો $A^9=$

ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2+x-1=0$ ના ભિન્ન બીજ છે. ગણ $T=\{1, \alpha, \beta\}$ ધ્યાનમાં લો. $3 \times 3$ શ્રેણિક $M=(a_{ij})$ માટે,$R_i=a_{i1}+a_{i2}+a_{i3}$ અને $C_j=a_{1j}+a_{2j}+a_{3j}$ વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં $i=1,2,3$ અને $j=1,2,3$. $List-I$ ની દરેક એન્ટ્રીને $List-II$ ની સાચી એન્ટ્રી સાથે જોડો.

$List-I$	$List-II$
$(P)$ $T$ માં તમામ ઘટકો ધરાવતા $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ શ્રેણિકોની સંખ્યા કે જેથી તમામ $i, j$ માટે $R_i=C_j=0$ હોય તે	$(1)$ $1$
$(Q)$ $T$ માં તમામ ઘટકો ધરાવતા સંમિત શ્રેણિકો $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ ની સંખ્યા કે જેથી તમામ $j$ માટે $C_j=0$ હોય તે	$(2)$ $2$
$(R)$ ધારો કે $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે કે જેથી $i>j$ માટે $a_{ij} \in T$ છે. તો ગણ $\{\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}: x, y, z \in \mathbb{R}, M\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{12} \\ 0 \\ -a_{23} \end{bmatrix}\}$ માં ઘટકોની સંખ્યા	$(3)$ $\text{અનંત}$
$(S)$ ધારો કે $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ એ $T$ માં તમામ ઘટકો ધરાવતો શ્રેણિક છે કે જેથી તમામ $i$ માટે $R_i=0$ છે. તો $M$ ના નિશ્ચાયકનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય	$(4)$ $6$
	$(5)$ $0$

જો $A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}$ અને $\alpha, \beta, \gamma$ એ $|A - xI| = 0$ સમીકરણના બીજ હોય,તો $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = $

જો $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ હોય,તો નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} 1 & \alpha & \alpha^2 \\ \alpha^2 & 1 & \alpha \\ \alpha & \alpha^2 & 1 \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $\omega = - \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. તો નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 - \omega^2 & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય શું છે?