मान लीजिए A,x-अक्ष पर एक बिंदु है। A से वक्रो | vedclass

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Question

(D) परवलय $y^2 = 16x$ $(a=4)$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{4}{m}$ है।यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 8$ (त्रिज्या $r = 2\sqrt{2}$) की भी स्पर्श

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$72$

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(D) परवलय $y^2 = 16x$ $(a=4)$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{4}{m}$ है।यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 8$ (त्रिज्या $r = 2\sqrt{2}$) की भी स्पर्श रेखा है।केंद्र $(0,0)$ से रेखा $mx - y + \frac{4}{m} = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर है:$\frac{|4/m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2\sqrt{2} \implies \frac{16}{m^2(m^2+1)} = 8 \implies m^2(m^2+1) = 2$.$m^2 = t$ लेने पर,$t^2 + t - 2 = 0 \implies (t+2)(t-1) = 0$. चूँकि $t > 0$,इसलिए $t = 1$,अतः $m = \pm 1$ है।$m = 1$ लेने पर,स्पर्श रेखा $y = x + 4$ प्राप्त होती है।परवलय $y^2 = 16x$ पर स्पर्श बिंदु $R$ का मान $(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m}) = (4, 8)$ है।वृत्त $x^2 + y^2 = 8$ पर स्पर्श बिंदु $Q$ मूल बिंदु से रेखा $x - y + 4 = 0$ पर डाले गए लंब का पाद है,जो $(-2, 2)$ है।अतः $(QR)^2 = (4 - (-2))^2 + (8 - 2)^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$।

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वृत्तों के समीकरणों पर विचार करें:
$S_1 : x^2 + y^2 + 24x - 10y + a = 0$
$S_2 : x^2 + y^2 = 36$
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है?

एक वृत्त का समीकरण जो रेखाओं $x+y=2$ और $x-y=2$ को स्पर्श करता है और वृत्त $x^2+y^2=1$ को भी स्पर्श करता है,वह है:

$(0, 0)$ और $(1, 0)$ से गुजरने वाले और वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ को स्पर्श करने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।

यदि रेखाएँ $kx + 2y - 4 = 0$ और $5x - 2y - 4 = 0$ वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ के सापेक्ष संयुग्मी (conjugate) हैं,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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