मान लीजिए y=f(x) एक परवलय को दर्शाता है जिसकी | vedclass

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Question

(A) परवलय की नाभि $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ और नियता $y = -\frac{1}{2}$ है।परवलय की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$(x, y)$ से नाभि की दूरी नियता से द

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में ठीक दो अवयव हैं

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(A) परवलय की नाभि $\left(-\frac{1}{2}, 0ight)$ और नियता $y = -\frac{1}{2}$ है।परवलय की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$(x, y)$ से नाभि की दूरी नियता से दूरी के बराबर है:$\sqrt{\left(x + \frac{1}{2}ight)^2 + y^2} = \left|y + \frac{1}{2}ight|$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\left(x + \frac{1}{2}ight)^2 + y^2 = y^2 + y + \frac{1}{4}$$\left(x + \frac{1}{2}ight)^2 = y + \frac{1}{4} \Rightarrow y = x^2 + x = f(x)$.हमें $	an^{-1}\left(\sqrt{f(x)}ight) + \sin^{-1}\left(\sqrt{f(x)+1}ight) = \frac{\pi}{2}$ दिया गया है।मान लीजिए $u = \sqrt{f(x)}$। तब $	an^{-1}(u) + \sin^{-1}(\sqrt{u^2+1}) = \frac{\pi}{2}$.इसका अर्थ है $\sin^{-1}(\sqrt{u^2+1}) = \frac{\pi}{2} - 	an^{-1}(u) = \cot^{-1}(u) = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}ight)$.अतः,$\sqrt{u^2+1} = \frac{1}{\sqrt{u^2+1}}$ $\Rightarrow u^2+1 = 1$ $\Rightarrow u^2 = 0$ $\Rightarrow f(x) = 0$.चूंकि $f(x) = x^2+x$,हमारे पास $x^2+x = 0$ है,जो $x(x+1) = 0$ देता है।अतः,$x = 0$ या $x = -1$.समुच्चय $S = \{0, -1\}$ में ठीक दो अवयव हैं।

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A)$ नाभि	$(I)$ $(4,2)$
$(B)$ शीर्ष	$(II)$ $(3,2)$
$(C)$ नाभिलंब का एक सिरा	$(III)$ $(2,3)$
$(D)$ अक्ष और नियता का प्रतिच्छेदन बिंदु	$(IV)$ $(2,4)$
	$(V)$ $(2,2)$

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