ધારો કે f : R rightarrow R એક વિકલનીય વિધેય છ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $f^{\prime}(x)+f(x)=k$ છે,જ્યાં $k = \int_0^2 f(t) dt$ એક અચળાંક છે.રેખીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = k$ નો ઉકેલ સંકલ્યકારક

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $f^{\prime}(x)+f(x)=k$ છે,જ્યાં $k = \int_0^2 f(t) dt$ એક અચળાંક છે.રેખીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = k$ નો ઉકેલ સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\int 1 dx} = e^x$ દ્વારા મળે છે.સંકલ્યકારક અવયવ વડે ગુણતા: $e^x f(x) = \int k e^x dx = k e^x + c$.તેથી,$f(x) = k + c e^{-x}$.શરત $f(0) = e^{-2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $e^{-2} = k + c$ મળે છે,તેથી $c = e^{-2} - k$.$c$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $f(x) = k + (e^{-2} - k)e^{-x}$.હવે,$k = \int_0^2 f(t) dt = \int_0^2 (k + (e^{-2} - k)e^{-t}) dt$ ની ગણતરી કરીએ.$k = [kt - (e^{-2} - k)e^{-t}]_0^2 = (2k - (e^{-2} - k)e^{-2}) - (0 - (e^{-2} - k)) = 2k - (e^{-2} - k)e^{-2} + e^{-2} - k$.$k = k - (e^{-2} - k)e^{-2} + e^{-2} \implies (e^{-2} - k)e^{-2} = e^{-2}$.$e^{-2}$ વડે ભાગતા (કારણ કે $e^{-2} 
eq 0$): $e^{-2} - k = 1$,તેથી $k = e^{-2} - 1$.તેથી $f(x) = (e^{-2} - 1) + 1 \cdot e^{-x} = e^{-2} - 1 + e^{-x}$.$f(0) = e^{-2} - 1 + 1 = e^{-2}$.$f(2) = e^{-2} - 1 + e^{-2} = 2e^{-2} - 1$.$2f(0) - f(2) = 2(e^{-2}) - (2e^{-2} - 1) = 1$.

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f^{\prime}(x)+f(x)=\int \limits_0^2 f(t) dt$ થાય. જો $f(0)=e^{-2}$ હોય,તો $2f(0)-f(2)$ ની કિંમત $.........$ થાય.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + (3x^2 \tan^{-1} y - x^3)(1 + y^2) = 0$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ ધ્યાનમાં લો. જો $x = 1$ હોય ત્યારે $y$ નું મૂલ્ય $1$ હોય,તો $y = 2$ હોય ત્યારે $x$ નું મૂલ્ય શોધો:

ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને વિકલ સમીકરણ $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ નું સમાધાન કરતા વક્રનું સમીકરણ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 3y = e^{-2x}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module