मान लीजिए $P$ एक वर्ग आव्यूह है ताकि $P^2 = I - P$ हो। $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in N$ के लिए,यदि $P^\alpha + P^\beta = \gamma I - 29 P$ और $P^\alpha - P^\beta = \delta I - 13 P$ है,तो $\alpha + \beta + \gamma - \delta$ का मान $........$ है।

मान लीजिए कि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ समीकरण $z^5=1$ के भिन्न काल्पनिक मूल हैं। तो सारणिक का मान ज्ञात कीजिए: $\left| \begin{array}{ccc} e^{\alpha} & e^{2\alpha} & e^{3\alpha+1} \\ e^{\beta} & e^{2\beta} & e^{3\beta+1} \\ e^{\gamma} & e^{2\gamma} & e^{3\gamma+1} \end{array} \right|$.

मान लीजिए $P$ और $Q$ $3 \times 3$ आव्यूह हैं जहाँ $P \neq Q$ है। यदि $P^3 = Q^3$ और $P^2Q = Q^2P$ है,तो सारणिक $\det(P^2 + Q^2)$ का मान क्या होगा?

यदि $a_{r} = \cos \frac{2 r \pi}{9} + i \sin \frac{2 r \pi}{9}$,$r = 1, 2, 3, \ldots$,$i = \sqrt{-1}$ है,तो सारणिक $\left|\begin{array}{lll}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{4} & a_{5} & a_{6} \\ a_{7} & a_{8} & a_{9}\end{array}\right|$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $M$ और $N$ दो $3 \times 3$ आव्यूह हैं जैसे कि $MN = NM$। इसके अलावा,यदि $M \neq N^2$ और $M^2 = N^4$ है,तो:
$(A)$ $(M^2 + MN^2)$ का सारणिक $0$ है
$(B)$ एक $3 \times 3$ शून्येतर आव्यूह $U$ मौजूद है जिससे $(M^2 + MN^2)U$ शून्य आव्यूह है
$(C)$ $(M^2 + MN^2)$ का सारणिक $\geq 1$ है
$(D)$ एक $3 \times 3$ आव्यूह $U$ के लिए,यदि $(M^2 + MN^2)U$ शून्य आव्यूह है तो $U$ शून्य आव्यूह है