मान लीजिए R = { a, b, c, d, e } और S = {1, 2, | vedclass

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Question

(A) $n=5$ अवयवों वाले समुच्चय से $m=4$ अवयवों वाले समुच्चय पर कुल आच्छादक फलनों की संख्या $m! 	imes S_2(n, m)$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $S_2(n, m

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$180$

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(A) $n=5$ अवयवों वाले समुच्चय से $m=4$ अवयवों वाले समुच्चय पर कुल आच्छादक फलनों की संख्या $m! 	imes S_2(n, m)$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $S_2(n, m)$ द्वितीय प्रकार की स्टर्लिंग संख्या है।कुल आच्छादक फलन = $4! 	imes S_2(5, 4) = 24 	imes \binom{5}{2} = 24 	imes 10 = 240$.अब,हम उन आच्छादक फलनों की संख्या की गणना करते हैं जहाँ $f(a) = 1$ है। यदि $f(a) = 1$ है,तो शेष $4$ अवयव ${b, c, d, e}$ को ${1, 2, 3, 4}$ पर इस प्रकार प्रतिचित्रित होना चाहिए कि फलन आच्छादक बना रहे।स्थिति $1$: $f(a)=1$ और परिसर ${1, 2, 3, 4}$ है। शेष $4$ अवयवों का ${1, 2, 3, 4}$ पर आच्छादक फलन बनाने के तरीकों की संख्या $4! = 24$ है।स्थिति $2$: $f(a)=1$ और परिसर ${2, 3, 4}$ है। शेष $4$ अवयवों का ${2, 3, 4}$ पर आच्छादक फलन बनाने के तरीकों की संख्या $3! 	imes S_2(4, 3) = 6 	imes \binom{4}{2} = 6 	imes 6 = 36$ है।$f(a) = 1$ वाले कुल फलनों की संख्या $24 + 36 = 60$ है।अतः,$f(a) 
eq 1$ वाले आच्छादक फलनों की संख्या $240 - 60 = 180$ है।

मान लीजिए $R = \{ a, b, c, d, e \}$ और $S = \{1, 2, 3, 4\}$ है। $f: R \rightarrow S$ के कुल आच्छादक (onto) फलनों की संख्या,जहाँ $f(a) \neq 1$ है,$.............$ के बराबर है।

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फलन $f: N \rightarrow N$ जो $f(x) = \begin{cases} x+1, & x \text{ विषम है} \\ x-1, & x \text{ सम है} \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,तो $f$ . . . . . . है।

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