ધારો કે f :[2,4] rightarrow R એક વિકલનીય વિધે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ અસમતા: $(x \ln x) f'(x) + (\ln x + 1) f(x) \geq 1$.આને $\frac{d}{dx} (x \ln x \cdot f(x)) \geq 1$ તરીકે લખી શકાય.ધારો કે $g(x) = x \ln x \cdo

Vedclass · Accepted Answer

વિધાન $(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે

Vedclass · Answer

(C) આપેલ અસમતા: $(x \ln x) f'(x) + (\ln x + 1) f(x) \geq 1$.આને $\frac{d}{dx} (x \ln x \cdot f(x)) \geq 1$ તરીકે લખી શકાય.ધારો કે $g(x) = x \ln x \cdot f(x) - x$. તો $g'(x) = \frac{d}{dx} (x \ln x \cdot f(x)) - 1 \geq 0$.આમ,$g(x)$ એ $[2,4]$ પર વધતું વિધેય છે.અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમતો:$g(2) = 2 \ln 2 \cdot f(2) - 2 = 2 \ln 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 = \ln 2 - 2$.$g(4) = 4 \ln 4 \cdot f(4) - 4 = 4 \ln 4 \cdot \frac{1}{4} - 4 = \ln 4 - 4 = 2 \ln 2 - 4$.$g(x)$ વધતું હોવાથી,$g(2) \leq g(x) \leq g(4)$ માટે $x \in [2,4]$.$\ln 2 - 2 \leq x \ln x \cdot f(x) - x \leq 2 \ln 2 - 4$.$x$ ઉમેરીને $x \ln x$ વડે ભાગતા:$\frac{\ln 2 - 2}{x \ln x} + \frac{1}{\ln x} \leq f(x) \leq \frac{2 \ln 2 - 4}{x \ln x} + \frac{1}{\ln x}$.$x \in [2,4]$ માટે,ઉપલી સીમા $\leq \frac{2 \ln 2 - 4}{2 \ln 2} + \frac{1}{\ln 2} = 1 - \frac{2}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2} = 1 - \frac{1}{\ln 2} $x \in [2,4]$ માટે,નીચલી સીમા $\geq \frac{\ln 2 - 2}{4 \ln 4} + \frac{1}{\ln 4} = \frac{\ln 2 - 2}{8 \ln 2} + \frac{1}{2 \ln 2} = \frac{\ln 2 - 2 + 4}{8 \ln 2} = \frac{\ln 2 + 2}{8 \ln 2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{4 \ln 2} > \frac{1}{8}$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.

Similar Questions

$6$ એકમ ત્રાંસી ઊંચાઈ ધરાવતા લંબવૃત્તીય શંકુનું મહત્તમ ઘનફળ કેટલું થાય?

$f(x) = |x + 2| - 1$ દ્વારા આપવામાં આવેલા વિધેયની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શોધો.

$\max _{0 \leq x \leq \pi}\left\{x-2 \sin x \cos x+\frac{1}{3} \sin 3 x\right\}=$

$x > 0$ માટે વિધેય $f(x) = x\sqrt{1 - x^2}$ ધરાવે છે:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module