मान लीजिए $A$ वास्तविक प्रविष्टियों वाला एक $2 \times 2$ आव्यूह है,जहाँ $A^{T} = \alpha A + I$,और $\alpha \in R - \{-1, 1\}$ है। यदि $\det(A^2 - A) = 4$ है,तो $\alpha$ के सभी संभावित मानों का योग क्या है?

यदि $A$ और $B$ क्रम $n$ के व्युत्क्रमणीय वर्ग आव्यूह हैं, तो निम्नलिखित में से कौन सा सही नहीं है?

माना $M = \begin{bmatrix} 0 & 1 & a \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & b & 1 \end{bmatrix}$ और $\operatorname{adj} M = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix}$ जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं। निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $a+b=3$
$(2)$ $\operatorname{det}(\operatorname{adj} M^2) = 81$
$(3)$ $(\operatorname{adj} M)^{-1} + \operatorname{adj} M^{-1} = -M$
$(4)$ यदि $M \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$,तो $\alpha - \beta + \gamma = 3$

एक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \\ \beta+\gamma & \gamma+\alpha & \alpha+\beta \end{bmatrix}$ पर विचार करें,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma$ तीन भिन्न प्राकृतिक संख्याएँ हैं। यदि $\frac{\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A))))}{(\alpha-\beta)^{16}(\beta-\gamma)^{16}(\gamma-\alpha)^{16}}=2^{32} \times 3^{16}$ है,तो ऐसे $3$-टुपल्स $(\alpha, \beta, \gamma)$ की संख्या $.....$ है।

यदि $ P=\left|\begin{array}{ll}x & 1 \\ 1 & x\end{array}\right| $ और $ Q=\left|\begin{array}{lll}x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x\end{array}\right| $ है,तो $ \frac{d Q}{d x}= $

मान लीजिए $\alpha \beta \gamma = 45$; $\alpha, \beta, \gamma \in R$ है। यदि कुछ $x, y, z \in R$ के लिए $x(\alpha, 1, 2) + y(1, \beta, 2) + z(2, 3, \gamma) = (0, 0, 0)$ है और $xyz \neq 0$ है,तो $6\alpha + 4\beta + \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।