मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx}+fra | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{5}{x(x^5+1)}$ और $Q(x) = \frac{(x^5+1)^2}

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$\frac{693}{128}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{5}{x(x^5+1)}$ और $Q(x) = \frac{(x^5+1)^2}{x^7}$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{5}{x(x^5+1)} dx}$ द्वारा दिया जाता है।समाकलन को हल करने के लिए,अंश और हर को $x^{-6}$ से गुणा करें:$I.F. = e^{\int \frac{5x^{-6}}{x^{-5}+1} dx}$.मान लीजिए $t = x^{-5}+1$,तो $dt = -5x^{-6} dx$,इसलिए $-dt = 5x^{-6} dx$.$I.F. = e^{\int \frac{-dt}{t}} = e^{-\ln|t|} = \frac{1}{t} = \frac{1}{x^{-5}+1} = \frac{x^5}{x^5+1}$.व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।$y \cdot \frac{x^5}{x^5+1} = \int \frac{(x^5+1)^2}{x^7} \cdot \frac{x^5}{x^5+1} dx + C = \int \frac{x^5+1}{x^2} dx + C = \int (x^3 + x^{-2}) dx + C$.$y \cdot \frac{x^5}{x^5+1} = \frac{x^4}{4} - \frac{1}{x} + C$.दिया गया है $y(1) = 2$,इसलिए $2 \cdot \frac{1}{1+1} = \frac{1}{4} - 1 + C \Rightarrow 1 = -\frac{3}{4} + C \Rightarrow C = \frac{7}{4}$.अतः,$y \cdot \frac{x^5}{x^5+1} = \frac{x^4}{4} - \frac{1}{x} + \frac{7}{4}$.$x=2$ के लिए,$y \cdot \frac{32}{33} = \frac{16}{4} - \frac{1}{2} + \frac{7}{4} = 4 - 0.5 + 1.75 = 5.25 = \frac{21}{4}$.$y = \frac{21}{4} \cdot \frac{33}{32} = \frac{693}{128}$.

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+\frac{5}{x(x^5+1)}y=\frac{(x^5+1)^2}{x^7}$,$x > 0$ के लिए हल है। यदि $y(1)=2$ है,तो $y(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$x \frac{dy}{dx} + 3y = x^2$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

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