ધારો કે x = x(y) એ વિકલ સમીકરણ 2(y + 2) log_e | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2(y + 2) \ln(y + 2) dx + (x + 4 - 2 \ln(y + 2)) dy = 0$ છે.તેને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{dx}{dy} = -\frac{x + 4 - 2 \ln(y + 2)}{2(y +

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{32}{9}$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2(y + 2) \ln(y + 2) dx + (x + 4 - 2 \ln(y + 2)) dy = 0$ છે.તેને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{dx}{dy} = -\frac{x + 4 - 2 \ln(y + 2)}{2(y + 2) \ln(y + 2)}$ મળે.આને $2(y + 2) \ln(y + 2) \frac{dx}{dy} + x = 2 \ln(y + 2) - 4$ તરીકે લખી શકાય.ધારો કે $t = \ln(y + 2)$,તો $dt = \frac{1}{y + 2} dy$,તેથી $dy = (y + 2) dt$.સમીકરણ $2t \frac{dx}{dt} + x = 2t - 4$,અથવા $\frac{dx}{dt} + \frac{x}{2t} = 1 - \frac{2}{t}$ બને છે.આ $t$ ના સંદર્ભમાં $x$ નું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \frac{1}{2t} dt} = e^{\frac{1}{2} \ln t} = \sqrt{t}$ છે.$IF$ વડે ગુણતા,$\frac{d}{dt}(x \sqrt{t}) = \sqrt{t} - \frac{2}{\sqrt{t}}$ મળે.બંને બાજુ સંકલન કરતા,$x \sqrt{t} = \int (t^{1/2} - 2t^{-1/2}) dt = \frac{2}{3} t^{3/2} - 4t^{1/2} + C$.$\sqrt{t}$ વડે ભાગતા,$x = \frac{2}{3} t - 4 + \frac{C}{\sqrt{t}}$ મળે.$t = \ln(y + 2)$ મૂકતા,$x = \frac{2}{3} \ln(y + 2) - 4 + \frac{C}{\sqrt{\ln(y + 2)}}$.આપેલ છે કે $x(e^4 - 2) = 1$,તેથી $y = e^4 - 2$,$t = \ln(e^4) = 4$,$x = 1$.$1 = \frac{2}{3}(4) - 4 + \frac{C}{\sqrt{4}} \implies 1 = \frac{8}{3} - 4 + \frac{C}{2} \implies 1 = -\frac{4}{3} + \frac{C}{2} \implies \frac{C}{2} = \frac{7}{3} \implies C = \frac{14}{3}$.હવે $x(e^9 - 2)$ શોધો,તેથી $y = e^9 - 2$,$t = \ln(e^9) = 9$.$x = \frac{2}{3}(9) - 4 + \frac{14/3}{\sqrt{9}} = 6 - 4 + \frac{14/3}{3} = 2 + \frac{14}{9} = \frac{32}{9}$.

ધારો કે $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $2(y + 2) \log_e(y + 2) dx + (x + 4 - 2 \log_e(y + 2)) dy = 0$,$y > -1$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $x(e^4 - 2) = 1$ છે. તો $x(e^9 - 2)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2 \cos x$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = x(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ નો ઉકેલ હોય અને $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ હોય,તો $\mathbb{R}$ પર વિધેય $y(x)$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી થાય?

વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx} - y \cos x = 1$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ નો ઉકેલ હોય અને $y(1) = 1$ નું સમાધાન કરતું હોય,તો $y\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module