વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2 \cos x$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $f$ એ $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ પર વ્યાખ્યાયિત એક અ-ઋણ વિધેય છે. જો $\int_0^x \left(f^{\prime}(t)-\sin 2t\right) dt = \int_x^0 f(t) \tan t dt$ અને $f(0)=1$ હોય, તો $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx$ શોધો.

ધારો કે $y=y_{1}(x)$ અને $y=y_{2}(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=x+y$ ના બે ભિન્ન ઉકેલો છે,જ્યાં $y_{1}(0)=0$ અને $y_{2}(0)=1$ છે. તો $y=y_{1}(x)$ અને $y=y_{2}(x)$ ના છેદબિંદુઓની સંખ્યા કેટલી થાય?

જો $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \left( \frac{2x + 1}{x} \right)y = e^{-2x}, x > 0$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $y(1) = \frac{1}{2}e^{-2}$,તો:

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = \cos x$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=\frac{(\tan x)+y}{\sin x(\sec x-\sin x \tan x)}$,$x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ નો ઉકેલ છે જે શરત $y\left(\frac{\pi}{4}\right)=2$ નું પાલન કરે છે. તો,$y\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ની કિંમત શોધો.