ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{d y}{d x}=f | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=\frac{	an x+y}{\sin x(\sec x-\sin x 	an x)}$ છે.છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $\sin x(\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin^2 x}

Vedclass · Accepted Answer

$\sqrt{3}\left(2+\log _{e} \sqrt{3}\right)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=\frac{	an x+y}{\sin x(\sec x-\sin x 	an x)}$ છે.છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $\sin x(\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin^2 x}{\cos x}) = \sin x(\frac{1-\sin^2 x}{\cos x}) = \sin x(\frac{\cos^2 x}{\cos x}) = \sin x \cos x$.તેથી,$\frac{d y}{d x} = \frac{	an x + y}{\sin x \cos x} = \frac{	an x}{\sin x \cos x} + \frac{y}{\sin x \cos x} = \sec^2 x + y(2 \csc 2x)$.આ $\frac{d y}{d x} - (2 \csc 2x)y = \sec^2 x$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -2 \csc 2x dx} = e^{-\ln|	an x|} = \frac{1}{	an x}$ (કારણ કે $x \in (0, \pi/2)$).સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot \frac{1}{	an x} = \int \sec^2 x \cdot \frac{1}{	an x} dx + c$ છે.ધારો કે $	an x = t$,તો $\sec^2 x dx = dt$. તેથી,$y \cot x = \int \frac{1}{t} dt + c = \ln|t| + c = \ln(	an x) + c$.આમ,$y = 	an x (\ln(	an x) + c)$.$y(\frac{\pi}{4}) = 2$ આપેલ હોવાથી,$2 = 	an(\frac{\pi}{4})(\ln(	an(\frac{\pi}{4})) + c) = 1(0 + c)$,તેથી $c = 2$.ઉકેલ $y = 	an x (\ln(	an x) + 2)$ છે.$x = \frac{\pi}{3}$ માટે,$y(\frac{\pi}{3}) = 	an(\frac{\pi}{3})(\ln(	an(\frac{\pi}{3})) + 2) = \sqrt{3}(\ln \sqrt{3} + 2) = \sqrt{3}(2 + \log_e \sqrt{3})$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{2xy}{1 - x^2} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

જો $\int\limits_a^x {t\,y(t)dt} = x^2 + y(x)$ હોય,તો $x$ ના વિધેય તરીકે $y$ શું થાય?

નીચેના વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો,આપેલ છે કે $y=1$ જ્યારે $x=0$: $(1+x^2) \frac{dy}{dx} = e^{\tan^{-1} x} - y$.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module