ધારો કે f એ left[0, frac{pi}{2}right] પર વ્યા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ સમીકરણ $\int_0^x (f^{\prime}(t)-\sin 2t) dt = \int_x^0 f(t) 	an t dt$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરતા:$f^{\prim

Vedclass · Accepted Answer

$3-\frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ સમીકરણ $\int_0^x (f^{\prime}(t)-\sin 2t) dt = \int_x^0 f(t) 	an t dt$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરતા:$f^{\prime}(x) - \sin 2x = -f(x) 	an x$$f^{\prime}(x) + f(x) 	an x = \sin 2x$આ $\frac{df}{dx} + P(x)f = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P(x) = 	an x$ અને $Q(x) = \sin 2x = 2 \sin x \cos x$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int 	an x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.$IF$ વડે ગુણતા, $\frac{d}{dx} (f(x) \sec x) = \sin 2x \sec x = 2 \sin x$.બંને બાજુ સંકલન કરતા, $f(x) \sec x = \int 2 \sin x dx = -2 \cos x + C$.$f(0) = 1$ આપેલ હોવાથી, $1 \cdot \sec 0 = -2 \cos 0 + C \implies 1 = -2 + C \implies C = 3$.આમ, $f(x) \sec x = -2 \cos x + 3$, જેનો અર્થ છે કે $f(x) = -2 \cos^2 x + 3 \cos x$.હવે, $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-2 \cos^2 x + 3 \cos x) dx$.$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા, $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (-1 - \cos 2x + 3 \cos x) dx = [-x - \frac{\sin 2x}{2} + 3 \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}$.$= (-\frac{\pi}{2} - 0 + 3) - (0) = 3 - \frac{\pi}{2}$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + (\sec x \operatorname{cosec} x) y = \cos^2 x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=Y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+y \tan x=2x+x^2 \tan x$,$x \in \left(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ નો ઉકેલ છે,જેથી $Y(0)=1$,તો

વિકલ સમીકરણ $x \cdot \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ નો સંકલ્યકારક અવયવ $(x \neq 0)$ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module