ધારો કે $A$ એક એવો ચોરસ શ્રેણિક છે કે જેથી $AA^T = I$ થાય. તો $\frac{1}{2} A[(A+A^T)^2 + (A-A^T)^2]$ ની કિંમત શોધો.

$\alpha, \beta \in R$ અને પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,ધારો કે $A_r = \begin{vmatrix} r & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 2r & 2 & n^2 - \beta \\ 3r - 2 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix}$. તો $2A_{10} - A_8$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $S = \{\sqrt{n} : 1 \leq n \leq 50, n \text{ એ એકી સંખ્યા છે}\}$. ધારો કે $a \in S$ અને $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & a \\ -1 & 1 & 0 \\ -a & 0 & 1 \end{bmatrix}$. જો $\sum_{a \in S} \operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = 100 \lambda$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $P=\begin{bmatrix} -30 & 20 & 56 \\ 90 & 140 & 112 \\ 120 & 60 & 14 \end{bmatrix}$ અને $A=\begin{bmatrix} 2 & 7 & \omega^{2} \\ -1 & -\omega & 1 \\ 0 & -\omega & -\omega+1 \end{bmatrix}$,જ્યાં $\omega=\frac{-1+ i \sqrt{3}}{2}$,અને $I_{3}$ એ $3$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે. જો શ્રેણિક $(P^{-1}AP - I_{3})^{2}$ નો નિશ્ચાયક $\alpha \omega^{2}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ હોય,તો તમામ $n \ge 1$ માટે નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે (ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા)?

જો $p, q, r, s$ એ $A.P.$ માં હોય અને $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} p + \sin x & q + \sin x & p - r + \sin x \\ q + \sin x & r + \sin x & -1 + \sin x \\ r + \sin x & s + \sin x & s - q + \sin x \end{array} \right|$ હોય,જેથી $\int_{0}^{\pi} f(x) dx = -4$ થાય,તો $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત શું હોઈ શકે?