मान लीजिए g(x) एक रैखिक फलन है और f(x) = begi | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $g(x) = ax + b$ है। चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0)$ होगा।$\lim_{x 	o 0^+} \left(\frac{1+x}{2+

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$\log_e\left(\frac{4}{9 e^{1/3}}\right)$

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(D) मान लीजिए $g(x) = ax + b$ है। चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0)$ होगा।$\lim_{x 	o 0^+} \left(\frac{1+x}{2+x}ight)^{\frac{1}{x}} = g(0) = b$.सीमा की गणना करने पर: $\lim_{x 	o 0^+} \left(\frac{1+x}{2+x}ight)^{\frac{1}{x}} = e^{\lim_{x 	o 0} \frac{1}{x} \ln\left(\frac{1+x}{2+x}ight)} = e^{\lim_{x 	o 0} \frac{1}{x} (\ln(1+x) - \ln(2+x))} = e^{-\infty} = 0$.अतः,$b = 0$,जिससे $g(x) = ax$ प्राप्त होता है।$x > 0$ के लिए,$f(x) = \left(\frac{1+x}{2+x}ight)^{\frac{1}{x}}$ है। मान लीजिए $y = f(x)$,तब $\ln y = \frac{1}{x} (\ln(1+x) - \ln(2+x))$ होगा।$\frac{1}{y} f'(x) = -\frac{1}{x^2} (\ln(1+x) - \ln(2+x)) + \frac{1}{x} \left(\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2+x}ight)$.$x = 1$ पर,$y = f(1) = \frac{2}{3}$ है।$\frac{3}{2} f'(1) = -(\ln 2 - \ln 3) + 1 \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}ight) = \ln\left(\frac{3}{2}ight) + \frac{1}{6}$.$f'(1) = \frac{2}{3} \ln\left(\frac{3}{2}ight) + \frac{1}{9} = -\frac{2}{3} \ln\left(\frac{2}{3}ight) + \frac{1}{9}$.दिया गया है कि $f'(1) = f(-1) = g(-1) = -a$,इसलिए $a = \frac{2}{3} \ln\left(\frac{2}{3}ight) - \frac{1}{9}$ है।$g(3) = 3a = 2 \ln\left(\frac{2}{3}ight) - \frac{1}{3} = \ln\left(\frac{4}{9 e^{1/3}}ight)$.

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