मान लीजिए कि $Q$ और $R$ बिंदु $P(a, a, a)$ से रेखाओं $x=y, z=1$ और $x=-y, z=-1$ पर डाले गए लंब के पाद हैं। यदि $\angle QPR$ एक समकोण है,तो $12a^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखा $x-2=\frac{y-4}{4}=\frac{z-6}{7}$ को समाहित करने वाले और रेखा $\vec{r}=(\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k})+\lambda(3\hat{i}+5\hat{j}+7\hat{k})$ के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

$XOZ$ समतल,$(1, -1, 5)$ और $(2, 3, 4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A$ रेखा $\vec{r} = (1 - 3\mu)\hat{i} + (\mu - 1)\hat{j} + (2 + 5\mu)\hat{k}$ पर एक बिंदु है और $B(3, 2, 6)$ अंतरिक्ष में एक बिंदु है। तो $\mu$ का वह मान जिसके लिए सदिश $\overrightarrow{AB}$ समतल $x - 4y + 3z = 1$ के समानांतर है,क्या है?

मान लीजिए कि समतलों $P_1: x+(\lambda+4)y+z=1$ और $P_2: 2x+y+z=2$ की प्रतिच्छेदन रेखा को समाहित करने वाला समतल बिंदुओं $(0,1,0)$ और $(1,0,1)$ से होकर गुजरता है। तो बिंदु $(2\lambda, \lambda, -\lambda)$ की समतल $P_2$ से दूरी ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{6}$ में)

बिंदु $(-1, 2, 3)$ की समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 10$ से दूरी,जो रेखाओं $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j}) + \lambda(2\hat{i} + \hat{k})$ और $\vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j}) + \mu(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी की रेखा के समांतर है,क्या है?