मान लीजिए कि A एक 3 times 3 वास्तविक आव्यूह ह | vedclass

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Question

(A) दिए गए समीकरण दर्शाते हैं कि सदिश $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$,$v_2 = \begin{bmatrix} -1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$,और $v_3 = \

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अद्वितीय हल हैं

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(A) दिए गए समीकरण दर्शाते हैं कि सदिश $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$,$v_2 = \begin{bmatrix} -1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$,और $v_3 = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}$ आव्यूह $A$ के आइगेन सदिश हैं,जिनके संगत आइगेन मान $\lambda_1 = 2$,$\lambda_2 = 4$,और $\lambda_3 = 2$ हैं।चूंकि ये तीन सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं,वे $\mathbb{R}^3$ के लिए एक आधार (basis) बनाते हैं।आव्यूह $A$ को $A = PDP^{-1}$ के रूप में विकर्णित किया जा सकता है,जहाँ $D = 	ext{diag}(2, 4, 2)$ है और $P$ वह आव्यूह है जिसके स्तंभ $v_1, v_2, v_3$ हैं।निकाय $(A-3I)X = B$ है। आव्यूह $(A-3I)$ के आइगेन मान $\lambda_i - 3$ हैं,जो $2-3 = -1$,$4-3 = 1$,और $2-3 = -1$ हैं।चूंकि $(A-3I)$ का कोई भी आइगेन मान $0$ नहीं है,इसलिए सारणिक $|A-3I| = (-1)(1)(-1) = 1 
eq 0$ है।चूंकि सारणिक शून्य नहीं है,इसलिए आव्यूह $(A-3I)$ व्युत्क्रमणीय (invertible) है।अतः,निकाय $(A-3I)X = B$ का एक अद्वितीय हल है।

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