ધારો કે A એ 3 times 3 વાસ્તવિક શ્રેણિક છે જેથ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણો દર્શાવે છે કે સદિશો $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$,$v_2 = \begin{bmatrix} -1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$,અને $v_3 = \

Vedclass · Accepted Answer

અનન્ય ઉકેલ છે

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણો દર્શાવે છે કે સદિશો $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$,$v_2 = \begin{bmatrix} -1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$,અને $v_3 = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}$ એ $A$ ના આઈગન સદિશો છે જે અનુરૂપ આઈગન કિંમતો $\lambda_1 = 2$,$\lambda_2 = 4$,અને $\lambda_3 = 2$ ધરાવે છે.આ ત્રણ સદિશો સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર હોવાથી,તેઓ $\mathbb{R}^3$ માટે આધાર (basis) બનાવે છે.શ્રેણિક $A$ ને $A = PDP^{-1}$ તરીકે વિકર્ણીય કરી શકાય છે,જ્યાં $D = 	ext{diag}(2, 4, 2)$ અને $P$ એ $v_1, v_2, v_3$ સ્તંભો વાળો શ્રેણિક છે.સમીકરણ સંહતિ $(A-3I)X = B$ છે. શ્રેણિક $(A-3I)$ ના આઈગન મૂલ્યો $\lambda_i - 3$ છે,જે $2-3 = -1$,$4-3 = 1$,અને $2-3 = -1$ છે.$(A-3I)$ ના કોઈપણ આઈગન મૂલ્યો $0$ ન હોવાથી,નિશ્ચાયક $|A-3I| = (-1)(1)(-1) = 1 
eq 0$ થાય.નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવાથી,શ્રેણિક $(A-3I)$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો છે.તેથી,સમીકરણ સંહતિ $(A-3I)X = B$ ને અનન્ય ઉકેલ છે.

Similar Questions

જો $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ હોય,તો $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ ની કિંમત શોધો.

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો: $4x - 3y = 3$ અને $3x - 5y = 7$.

સમીકરણોની સિસ્ટમ $x+y+z=\beta$,$5x-y+\alpha z=10$,અને $2x+3y-z=6$ ના અનન્ય ઉકેલનું અસ્તિત્વ શેના પર આધાર રાખે છે?

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 \\ 0 & 3 & -5 \\ -2 & 5 & -9 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} a \\ -b \\ -c \end{bmatrix}$. જો $A$ અને $[A: B]$ નો શ્રેણીકનો ક્રમ (rank) સમાન હોય, તો:

ધારો કે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x+y+kz=2$; $2x+3y-z=1$; $3x+4y+2z=k$ ને અનંત ઉકેલો છે. તો સંહતિ $(k+1)x+(2k-1)y=7$; $(2k+1)x+(k+5)y=10$ ધરાવે છે:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module