lambda के उन वास्तविक मानों की संख्या ज्ञात क | vedclass

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Question

(B) रैखिक समीकरणों के निकाय $AX = 0$ के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$.गुणांक आव्यूह है:$A = \begin{bma

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$1$

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(B) रैखिक समीकरणों के निकाय $AX = 0$ के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$.गुणांक आव्यूह है:$A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & -\lambda \ 4 & \lambda & 2 \ \lambda & 2 & 2 \end{bmatrix}$सारणिक को शून्य रखने पर:$|A| = 2(2\lambda - 4) - 4(8 - 2\lambda) - \lambda(8 - \lambda^2) = 0$$|A| = 4\lambda - 8 - 32 + 8\lambda - 8\lambda + \lambda^3 = 0$$|A| = \lambda^3 + 4\lambda - 40 = 0$माना $f(\lambda) = \lambda^3 + 4\lambda - 40$. चूंकि $f'(\lambda) = 3\lambda^2 + 4 > 0$ सभी वास्तविक $\lambda$ के लिए,फलन $f(\lambda)$ निरंतर वर्धमान है।इसलिए,इसका केवल एक वास्तविक मूल हो सकता है।अतः,$\lambda$ के वास्तविक मानों की संख्या $1$ है।

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यदि समीकरण निकाय $3x + y + 4z = 3$, $2x + ay - z = -3$, $x + 2y + z = 4$ का कोई हल नहीं है, तो $a$ का मान क्या होगा?

यदि रैखिक समीकरण निकाय $2x + y - z = 7$,$x - 3y + 2z = 1$,और $x + 4y + \delta z = k$,जहाँ $\delta, k \in R$ के अनंत हल हैं,तो $\delta + k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि रैखिक समीकरण निकाय $x + y + z = 5$,$x + 2y + 2z = 6$,और $x + 3y + \lambda z = \mu$ (जहाँ $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$) के अनंत हल हैं,तो $\lambda + \mu$ का मान ज्ञात कीजिए:

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